历年考研概率论填空题汇总（2004—2013年）（含答案和解析）（2013Ⅰ，14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为大于零的常数，则(1|)P Y a Y a ≤+>=．【详解】这是一个条件概率．11(1,)(1)a x aaP Y a Y a e dx e e+-≤+>==-⎰，()x aaP Y a e dx e +∞->==⎰，从而(1,)1(1|)1()P Y a Y a P Y a Y a P Y a e≤+>≤+>==->．（2013Ⅲ，14）设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)X N ，则2()X E Xe =． 【答案】22e（2012ⅠⅢ，14）设A ，B ，C 是随机事件，A ，C 互不相容，11(),()23P AB P C ==，则(|)P AB C =．【答案】34【解析】由条件概率的定义，()(|)()P AB C P AB C P C =．（2011，14）设二维随机变量22(,)~(,,,,0)X Y N μμσσ，则2()E XY =． 【答案】32μμσ+【考点分析】本题考查二维正态分布的性质．【解析】由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立．因此22()E XY EX EY =⋅．由于(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，可知()2222,EX EY DY EY μμσ==+=+，则()22232()E XY μμσμμσ=+=+．（2010Ⅰ，14）设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,...)!C P X k k k ===，则2E X=．【答案】2【解析】由归一性得{}1k P Xk ∞===∑，即011!k C C e k ∞===∑，所以1C e -=即随机变量X 服从参数为 1的泊松分布，于是1DX EX ==，故22()112EX DX EX =+=+=．（2010Ⅲ，14）设1x ，2x ，n x 为来自整体2(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，记统计量211ni i T X n==∑，则ET =．【答案】22σμ+【解析】2222()i i i EX DX EX σμ=+=+，因此22222211111()nnii i i ET EXEX n nnnσμσμ=====+=+∑∑．（2009Ⅰ，14）设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差．若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k =．【答案】1-【解析】由于2X kS -+为2np 的无偏估计，则22()E X kX np -+=， 故2(1)1(1)(1)11np knp p np k p p k p p k +-=⇒+-=⇒-=-⇒=-．（2009Ⅲ，14）设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET =．【答案】2np【解析】222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=． （2009Ⅳ，14）设总体X 的概率密度||1(,),2x f x ex σσσ-=-∞<<+∞，其中参数(0)σσ>未知，若12,,...,n x x x 是来自总体X 的简单随机样本，11||1nii x n σ==-∑是σ的估计量，则 ()E σ=．【答案】1n n σ-【解析】11()||||11ni i i n E E x E x n n σ===--∑12||12121xxxt tn n x n x edx edx te dt n n n σσσσσσ=--+∞+∞+∞--∞=⋅=⋅−−−→---⎰⎰⎰11tn n te dt n n σσσ+∞-==--⎰．（2008ⅠⅢ，14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{2}P X ==．【答案】112e -【详解】由22()DX EX EX =-得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112E X =+=，所以21111{2}2!2P X ee--===．（2007ⅠⅢⅣ，16）在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为．【答案】34【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间(0,1)上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便．【详解】利用几何概型计算．图如下：所求概率2113214A DS S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===．【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率．（2006ⅠⅣ6，Ⅲ5）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}m ax{,}1P X Y ≤=．【答案】19【分析】利用X 与Y 的独立性及分布计算． 【详解】由题设知，X 与Y 具有相同的概率密度1,03()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他．则{}212011max{,}1{1,1}{1}{1}({1})39P X Y P X Y P X P Y P X dx ⎛⎫≤=≤≤=≤≤=≤== ⎪⎝⎭⎰．【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则{}1m ax{,}1{1,1}9S P X Y P X Y S ≤=≤≤==影．（2006Ⅲ，6）设总体X 的概率密度为||1()2x f x ex -=-∞<<+∞（），12,,,m X X X 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2ES =．【答案】2【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可． 【详解】因为||()02x x EX xf x dx edx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰， 222||22+0()|+22x xxxxEXx f x dx edx x edx x exedx +∞+∞+∞+∞---∞--∞-∞====-⎰⎰⎰⎰002|22|2xxxxeedx e+∞-+∞--+∞=-+=-=⎰．所以22()202DX EX EX =-=-=，又因为2S 是D X 的无偏估计量，所以22ES DX ==． （2005ⅠⅣ6，Ⅲ5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,2,,X 中任取一个数，记为Y ，则{2}P Y ==．【答案】1348【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】{2}P Y =={1}{21}P X P Y X ===+{2}{22}P X P Y X === +{3}{23}P X P Y X ===+{4}{24}P X P Y X === =111113(0).423448⨯+++=（2005Ⅲ，6）设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为 X Y 0 10 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立，则a =，b =．【答案】0.4；0.1【分析】首先所有概率求和为1，可得0.5a b +=，其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定,a b 的取值．【详解】由题设，知0.5a b +=，又事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立，于是有 {0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=，即(0.4)()a a a b =++，由此可解得0.4,0.1a b ==．（2004ⅠⅣ6，Ⅲ5）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >=．【答案】1e【分析】已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可．【详解】由题设，知21D X λ=，于是1111{{}xxP X P X edx eeλλλλλλ+∞+∞-->=>==-=⎰．【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算．（2004Ⅲ，6）设总体X 服从正态分布21(,)N μσ，总体Y 服从正态分布22(,)N μσ，112,,...,n X X X 和212,,...,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦∑∑． 【答案】2σ【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案．【详解】因为122111()1n ii E X X n σ=⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦∑，222121()1n jj E Y Y n σ=⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦∑，故应填2σ． 【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查．。