2002年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一、 填空题（每小题3分）二、选择题（每小题3分）（4）设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)(1x f和)(2x f，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则（ ）（A ）)(1x f+)(2x f必为某一随机变量的概率密度。

（B ）)(1x F )(2x F必为某一随机变量的分布函数（C ）)(1x F +)(2x F必为某一随机变量的分布函数（D ）)(1x f)(2x f必为某一随机变量的概率密度（5）设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，XXX S nnK++=21，则根据列维-林德伯格（Levy-Lindberg ）中心极限定理，当n 充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2…Xn（ ）（A ）有相同的数学期望 （B ）有相同的方差（D ）服从同一指数分布 （D ）服从同一离散型分布 十一、（本题满分8分）设A ，B 是任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明， )()(-=A B P A B P是事件A 与B 独立的充分必要条件。

十二、（本题满分8分）假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时。

设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。

试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、填空题（每小题4分）（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，EX=EY=0，222==EY EX，则______)(2=+Y X E二、选择题（每小题4分） (5)对于任意二事件A 和B ，（ ）（Ａ）若ＡＢ≠∅，则A ，B 一定独立 （B ）若ＡＢ≠∅，，则A ，B 有可能独立 （C ） 若ＡＢ=∅，则A ，B 一定独立 （D ）若ＡＢ=∅，则A ，B 一定不独立 (6)设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则（ ） （A ）X 与Y 一定独立 （B ）（X ，Y ）服从二维正态分布 （C ）X 与Y 未必独立 （D ）X+Y 服从一维正态分布 十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=，其他，若081x ,31)(32x x fF （x ）是X 的分布函数。

求随机变量Y=F （X ）的分布函数。

十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，0<P(A)<1,0<P(B)<1,)()()()()()()(---=B P A P B P A P B P A P AB P ρ称作事件A 和B 的相关系数。

（1） 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；（2） 利用随机变量相关系数的基本性质，证明1<ρ。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、填空题（每小题4分）（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >=_______二、选择题（每小题4分）（13）设随机变量X 服从正态分布N （0，1），对给定的)1,0(∈α，数u α满足{}αα=>u X P ,若{}α=<x X P ，则x 等于（ ） （A ）u 2α （B ）u21α- （C ）u21α-（D ）uα-1（14）设随机变量X1，X2，…，Xn（n>1）独立同分布，且其方差为02>σ令随机变量∑==ni i X n Y 11，则（ ）（A ）σ212)(n n Y D X +=+ （B ）σ211)(n n Y D X +=- （C ）nY Cov X σ21),(= （C ）σ21),(=Y Cov X 三、解答题（22）（本题满分13分）设A ，B 为两个随机事件，且P （A ）=41，31)(=A B P ，21)(=B A P ，令 ⎩⎨⎧=不发生，发生A 0,1A X ⎩⎨⎧=不发生，发生B 0B ,1Y求：（1）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布； （2）X 与Y 的相关系数),(Y X ρ；(3)Y XZ 22+=的概率分布。

（23）（本题满分13分）设随机变量X 在区间（0，1）上服从均匀分布，在X=x(0<x<1)的条件下，随机变量Y 在区间（0，x ）上服从均匀分布，求（1）随机变量X 和Y 的联合概率密度； （2）Y 的概率密度；（3）概率{}1>+Y X P2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、填空题（每小题4分）（6）从数1，2，3，4中任取一数，记为X ，再从1，…，X 中任取一数，记为Y ，则{}==z Y P ________二、选择题（每小题4分）若随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，则（ ） （A ）a=0.2， b=0.3 （B ）a=0.1， b=0.4 （C ）a=0.3， b=0.2 （D ）a=0.4， b=0.1 （14）设X1，X2，…，Xn，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为)1(>λλ的指数分布，记)(x Φ为标准正态分布函数，则（ ）（A ）)(lim 1x x n n P n i i n X Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ （B ）)(lim 1x x n n P n i i n X Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ（C ）)(lim 1x x n n P n i i n X Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λ （D ）)(lim 1x x n P n i i n X Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλλ三、解答题（22）（本题满分13分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,020,10,1),(x y x y x f求：（1）（X ，Y ）的边缘概率密度)(),(y x ffYX;(2)Z=2X-Y 的概率密度)(z fZ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2121X Y P （23）（本题满分13分）设X1，X2，…，Xn（n>2）为独立同分布的随机变量，且均服从N （0，1），记.,,2,1,,11n i X n X XY X ii ni i Λ=-==-=-∑求：（1）Y i的方差n i D Y i,,2,1,Λ=；（2）Y1与Yn的协方差Cov （Y1，Yn）；（3）{}01≤+YY nP2006年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、填空题（每小题4分）（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[]3,0上的均匀分布，则{}=≤1,max Y X P ________二、选择题（每小题4分）(13)设A ，B 为两个随机变量，且P （B ）>0,1)(=B A P ,则必有（ ）（A ）)()(A P B A P >⋃ （B ）)()(B P B A P >⋃ （C ）)()(A P B A P =⋃ （D ）)()(B P B A P =⋃ （14）设随机变量X 服从正态分布),(211σμN ，随机变量Y 服从正态分布),(222σμN ，且{}{}1121<-><-μμY P X P 则必有（ ）（A ）σσ21< （B ）σσ21> （C ）μμ21< （D ）μμ21>三、解答题其中a ，b ，c 为常数，且X 的数学期望EX=-0.2，{}5.00o X Y P =≤≤，记Z=X+Y 求（1）a ，b ，c 的值； （2）Z 的概率分布； （3）{}Z X P =（23）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x fX令XY 2=，F （x ，y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数。

求（1）Y 的概率密度);(y FY（2）Cov （X ，Y ）； （3）)4,21(-F2007年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、选择题（每小题4分）(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率p （0<p<1），则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（A ）)1(23p p- （B ）)1(26p p- （C ）)1(223p p - （D ）)1(226p p -（10）设随机变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相干，)(x fX，)(y fY分别表示X ，Y 的概率分布，则在Y=y 的条件概率密度)(y x fYX 为（ ）（A ）)(x fX（B ）)(y fY（C ）)(x fX)(y fY（D ）)()(y x ff YX二、填空题（每小题4分）（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为______ 三、解答题 （23）（本题满分11分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ⎩⎨⎧<<<<--=其他,010,10,2),(y x y x y x f（1） 求{} 2Y X P >； （2） 求Z=X+Y 的概率密度)(z fZ（24）（本题满分11分）记{}{}Y X V Y X U ,m in ,,m ax ==求 （1）（U ，V ）的概率分布；（2）U 与V 的协方差Cov （U ，V ）。