15- 分别绘出以下各序列的图形)()21()()1(n u n x n = )(2)()2(n u n x n =)()21()()3(n u n x n -= )()2()()4(n u n x n -=)1(2)()5(1-=-n u n x n )()21()()6(1n u n x n -=解)()1(n x 序列的图形如图5-1(a)所示。

)()2(n x 序列的图形如图5-1(b)所示。

)()3(n x 序列的图形如图5-1(c)所示。

)()4(n x 序列的图形如图5-1(d)所示。

)()5(n x 序列的图形如图5-1(e)所示。

(b)图5-1(a)(f)(e)(d)25- 分别绘出以下各序列的图形)()()1(n nu n x = )()()2(n nu n x --= )(2)()3(n u n x n -= )()21()()4(n u n x n --=)()21()()5(n u n x n --= )1()21()()6(1+=+n u n x n解)　序列的图形如图5-２(b)所示。

x()2(n　序列的图形如图5-２(c)所示。

x))3(n(x　序列的图形如图5-２(d)所示。

)4(n())5(n　序列的图形如图5-２(e)所示。

x()x　序列的图形如图5-２(f)所示。

())6(n(b)图5-2(c)(f)(e)(d)8-(a)35- 分别绘出以下各序列的图形)5sin()()1(πn n x =)510cos()()2(ππ-=n n x)5sin()65()()3(πn n x n =解)()1(n x 序列的图形如图5-３(a)所示。

)()2(n x 序列的图形如图5-３(b)所示。

)()3(n x 序列的图形如图5-３(c)所示。

图5-3(a)45- 判断以下各序列是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其周期。

)873sin()()1(ππ-=n A n x)8()()2(π-=ne n x j解)1(因为3147322==πππw 是有理数，所以)(n x 是周期性的，且周期为14。

)2(因为πππ168122==w为无理数，所以)(n x 是非周期性的。

55- 列出图45-所示系统的差分方程，已知边界条件0)1(=-y 。

分别求以下输入序列时的输出)(n y ，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。

图5-4)()()1(n n x δ= )()()2(n u n x =)5()()()3(--=n u n u n x解：由图45-可写出该系统的差分方程为)()1(31)(n x n y n y =--即)1(31)()(-+=n y n x n y)1(当)()(n n x δ=时， 10311)1(31)0()0(=⨯+=-+=y y δ)()31()()31()1(31)()(...)31(31310)1(31)2()2(311310)0(31)1()1(2n u n y n y n n y y y y y n n ==-+==⨯+=+==⨯+=+=所以δδδ 其图形如图)(55a -所示(b)图5-5(a)(c))2(当)()(n u n x =时，2)31(310311)1(31)0()0(0-==⨯+=-+=y u y 2)31(3341311)0(31)1()1(1-==⨯+=+=y u y 2)31(3134311)1(31)2()2(2-==⨯+=+=y u y …2)31(3)1(31)()(nn y n u n y -=-+= 所以 )(2)31(3)(n u n y n-=其图形如图)(55b -所示)3(当)5()()(--=n u n u n x 时，2)31(3)1(31)0()0(0-=-+=y u y 2)31(3)0(31)1()1(1-=+=y u y 2)31(3)1(31)2()2(2-=+=y u y 2)31(3)2(31)3()3(3-=+=y u y 2)31(3)3(31)4()4(4-=+=y u y 543121312131)4(310)5(=⨯=+=y y63121)5(310)6(=+=y yn n y 3121)(= )5(≥n所以 )5(3121)]5()(][)31(2123[)(-+---=n u n u n u n y n n其图形如图)(55c -所示65- 列出图65-所示系统的差分方程，已知边界条件0)1(=-y 并限定当0<n 时，全部0)(=n y ，若)()(n n x δ=，求)(n y 。

比较本题与55-题相应的结果。

图5-6解 由图65-可写出该系统的差分方程为)1()1(31)(-=--n x n y n y即)1()1(31)(-+-=n x n y n y若)()(n n x δ=，则有000)1()1(31)0(=+=-+-=δy y 110)0()0(31)1(=+=+=δy y310131)1()1(31)2(=+⨯=+=δy y2)31(03131)2()2(31)3(=+⨯=+=δy y32)31(0)31(31)3()3(31)4(=+⨯=+=δy y…1)31()1()1(31)(-=-+-=n n n y n y δ所以 )1()31()(1-=-n u n y n与题)1(55-比较，此题中的序列)(n y 的第一个非零值位于1=n ，而题)1(55-中的)(n y 的第一个非零值位于0=n 。

题)1(55-中的)(n y 向右移一个单位即可得到此题中的)(n y 。

75- 在题55-中，若限定当0>n 时，全部0)(=n y ，以0)1(=y 为边界条件，求当)()(n n x δ=时的响应)(n y ，这时，可以得到一个左边序列，试解释为什么会出现这种结果。

解 题55-中的差分方程为)1(31)()(-+=n y n x n y ① 若限定当0>n 时，全部0)(=n y ，则迭代时分别令,...2,1,0,1--=n 。

将①改写为)(3)(3)1(n x n y n y -=- 则有000)1(3)1(3)0(=-=-=δy y 330)0(3)0(3)1(-=-=-=-δy y23)1(3)1(3)2(-=---=-δy y 33)2(3)2(3)3(-=---=-δy y …n n y --=3)(所以 )1(3)(---=-n u n y n)(n y 是个左边序列。

之所以得到一个左边序列，是因为限定了当0>n 时，0)(=n y ，即)(n y 的非零值只可能出现在0<n 的范围内。

85- 列出图75-所示系统的差分方程，指出其阶次。

图5-7x解 图75-所示系统的差分方程为 )1()()1()(1010-+=-+n x a n x a n y b n y b 此为一阶差分方程。

95- 列出图85-所示系统的差分方程，指出其阶次。

图5-8解 图85-所示系统的差分方程为)1()()2()1()(1021-+=----n x a n x a n y b n y b n y 此为二阶差分方程。

105- 已知描述系统的差分方程表示式为 ∑=-=70)()(r r r n x b n y试绘出此离散系统的方框图。

如果)()(,0)1(n n x y δ==-，试求)(n y ，指出此时)(n y 有何特点，这种特点与系统的结构有何关系。

解 此离散系统的方框图如图95-所示 若)()(n n x δ=，则∑=-=70)()(r r r n b n y δ即0)0(b y =，1)1(b y =，2)2(b y =，3)3(b y =4)4(b y =，5)5(b y =，6)6(b y =，7)7(b y =)0而 当0<n 或7>n 时，0)(=n y此时)(n y 是有限长序列，且在非零值区间内的值为)7,...,0(=r b r ，即正好是各前向支路的增益。

)(n y 的这一特点确决于系统在结构上只有前向支路，没有反馈支路的特点。

115- 解差分方程)1( 1)0(,0)1(21)(==--y n y n y)2( 21)0(,0)1(2)(==--y n y n y)3( 1)1(,0)1(3)(==-+y n y n y )4( 1)0(,0)1(32)(==-+y n y n y 解 )1(特征方程为 021=-α求得特征根 21=α于是齐次解 n C n y )21()(∙=因而 n n y )21()(=)2(特征方程为 02=-α 求得特征根 2=α 于是齐次解 n C n y 2)(∙=将21)0(=y 代入上式，得21=C 因而 122)21()(-=∙=n n n y)3(特征方程为 03=+α求得特征根 3-=α 于是齐次解 n C n y )3()(-∙=将1)1(=y 代入上式，得31-=C因而 1)3()3(21)(--=-∙-=n n n y)4(特征方程为 032=+α求得特征根 32-=α于是齐次解 n C n y )32()(-∙=将1)0(=y 代入上式，得1=C因而 n n y )32()(-=125- 解差分方程)1( 1)2(,2)1(,0)2(2)1(3)(=-=-=-+-+y y n y n y n y )2( 1)1()0(,0)2()1(2)(=-==-+-+y y n y n y n y)3( 2)1(,1)0(,0)2()(===-+y y n y n y解 )1(特征方程为 0232=++αα 求得特征根 2,121-=-=αα 于是齐次解 n n C C n y )2()1()(21-+-= 将1)2(,2)1(=-=-y y 代入上式，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--1412212121C C C C 解得 12,421-==C C 因而 n n n y )2(12)1(4)(---=)2(特征方程为 0122=++αα求得特征根 1,21-=α于是齐次解 n C n C n y )1)(()(21-+= 将1)2(,2)1(=-=-y y 代入上式，得方程组⎩⎨⎧=-⨯+-=1)1()(1212C C C 解得 1,221==C C因而 n n n y )1)(12()(-+=)3(特征方程为 012=+α求得特征根 j j -==21,αα于是齐次解 222121)()(ππn jn j n n eC eC j C j C n y -+=-+=)2s i n ()2c o s (ππn n +=将2)1(,1)0(==y y 代入上式，得方程组⎩⎨⎧=-=+212121j C j C C C 解得 j C j C +=-=21,2121 因而 )()(21)(2222ππππn jn jn jn jeej een y ----+=)2sin()2cos(ππn n += 135- 解差分方程0)3(12)2(16)1(7)(=---+--n y n y n y n y5)3(,3)2(,1)1(-=-=-=y y y 解 特征方程为 01216723=-+-ααα 求得特征根 2,33,21==αα于是齐次解 n n C n C C n y 2)(3)(321∙++∙= 将5)3(,3)2(,1)1(-=-=-=y y y 代入上式，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=⨯++5)3(8273)2(4912)(3321321321C C C C C C C C C 求得 1,1,1321-=-==C C C 因而 n n n n y 2)1(3)(+-=145- 解差分方程n n y n y +--=)1(5)(。