第四章线性变换习题精解1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1) 在线性空间V中，A ,其中V是一固疋的向量;2) 在线性空间V中，A 其中V是:一固疋的向量；(X i,X2,X3) (X；,X2 X3,X 鳥•3) 在P3中，A4) 在P3中，A(X i,X2, X3) (2x i X2,X2 X3, X i);5) 在P[X]中, A f (X) f (X 1)6)在P[X]中，A f(x) f(X o),其中X0 p是一固定的数；7)把复数域上看作复数域上的线性空间， A8)在P"中，AX=BXC其中B,C p n n是两个固定的矩阵.解1)当0时，是;当0时，不是•2)当0时，是;当0时，不是.3)不是•例如当(1,0,0), k 2 时,k A( ) (2,0,0), A(k ) (4,0,0),A(k ) k A().4)是•因取(X i,x2,x3), (%,丫2,丫3),有A( ) = A (x i y i,X2 y2,X3 y3)= (2x i 2y i X2 y2,X2 y2 X3 y3,X i yj= (2x i X2,X2 X3,X i) (2y i y?」？y3, y i)=A + AA(k ) A (kx i, kx2, kx3)(2kx1 kx2, kx2kx3, kx1)(2kx1 kx2, kx2kx3,kx1)k A()故A是P3上的线性变换•5)是.因任取f (X) P[x], g(x) P[x],并令u(x) f(x) g(x)则A(f(x) g(x)) = A u(x) =u(x 1) = f (x 1) g(x 1) =A f (x) + A(g(x))再令v(x) kf (x)则A(kf (x)) A(v(x)) v(x 1) kf (x 1) k A(f (x)) 故A为P[X]上的线性变换.6)是•因任取f(x) P[x], g(x) P[x]则.A(f (X) g(x))= f (X0 ) g(X0 ) A(f (x)) A(g(x))A(kf (x)) kf (X0) k A(f (x))7)不是.例如取a=1,k=l,则A(ka)=-i , k( Aa)=i, A(ka) kA(a)8)是•因任取二矩阵X,Y P nn，则A(X Y) B(X Y)C BXC BYC A X+A YA(k X)=B(kX) k(BXC) k A X故A是p n n上的线性变换.2.在几何空间中，取直角坐标系oxy，以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,, 以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换.证明：4 4 4 2 2 2 2A =B =C =E,AB BA,A B =B A并检验(AB)2 = A 2 B 2是否成立.解任取一向量a=(x,y,z),则有1)因为2Aa=(x,-z,y), A a=(x,-y,-z)3 4A a=(x,z,-y), A a=(x,y,z)2Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)3 4B a=(-z,y,x), B a=(x,y,z)2Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)3 4C a=(y,-x,z), C a=(x,y,z)所以A4=B 4=C4=E2)因为AB (a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)BA ⑻=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)所以AB BA3)因为2 2 2A B (a)=A (-x,y,-z)=(-x,-y,z)2 2 2B A (a)=B (x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以A 2 2 2 " 2A B =B A3)因为2(AB) (a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)2 2A B (a)=(-x,-y,z)所以2 2 2(AB) A B3.在P[x]中,A f (x) f (x), B f (x) xf (x)证明:AB-BA=E证任取f(x) P[x],则有(AB-BA ) f (x) =AB f (x) -BA f (x) =A (xf (x)) -B( f (x)) = f (x) xf ，(x)-xf (x)=f(x)所以 AB-BA=E4•设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E,证明： A k B-BA k = k A k 1 (k>1)证采用数学归纳法• 当k=2时2 2 2 2A B-BA =(A B-ABA)+(ABA-BA )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA= 2A结论成立•归纳假设k m 时结论成立，即A m B -BA m = m A m 1.则当k m 1时，有m 1mA= (m 1) A即k m 1时结论成立•故对一切k 1结论成立.5•证明：可逆变换是双射证 设A 是可逆变换,它的逆变换为 A若a b ，则必有Aa Ab,不然设Aa=A b,两边左乘A 1,有a=b ，这与条件矛盾 其次，对任一向量b,必有a 使Aa=b,事实上，令A 1 b=a 即可• 因此,A 是一个双射•6•设1, 2, , n 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。

证明：A 是可逆变换当且仅当A 1,A 2 , ,A n 线性无关. 证因A(1， 2， ， n )=(A1,A2， ，An )=( 1， 2，， n)A故A 可逆的充要条件是矩阵 A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是 A 1,A 2, ,A n 线性无关• 故A 可逆的充要条件是 A 1,A 2, ,A n 线性无关•7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵：1) 第 1 题 4)中变换 A 在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3=(0,0,1)下的矩阵；2) [0； 1, 2]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B 是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB 在基1, 2下的矩阵；m 1 m 1m 1mmm 1mA B-BA =(A B-A BA)+(A BA-BA )=A (AB-BA)+(AB-BA )A=AE+ m A3)在空间P[x] n中,设变换A为f(x) f(x 1) f(x)、、1试求A在基i = x(x 1) (x i 1) (1=1,2, ,n-1)i!下的矩阵A；4)六个函数1=e ax cos bx, 2=e ax sin bxax . ax ..3 = x e cos bx,4 = x e sin bx1 2 ax 1 ax 21= x e cos bx, 1= e x sin bx2 2的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基i(i=1,2, 矩阵；1 5)已知P3中线性变换A在基1=(-1,1,1), 2=(1,0,-1), 3=(0,1,1)下的矩阵是11,6)下的0 11 02 1求 A 在基1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3=(0,0,1)下的矩阵；6)在P3中,A定义如下：A 1( 5,0,3)A 2 (0, 1,6)A 3 ( 5,1,9)其中1 ( 1,0,2)2 (0,1,1)3 (3, 1,0)求在基1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵；7)同上，求A在1, 2, 3下的矩阵.解1) A 1=(2,0,1)=2 1+ 3A 2 =(-1,1,0)=- 1 + 2A 3 = (0,1,0)= 22 1 0 故在基1,2 , 3下的矩阵为0 1 11 0 02)取 1 = (1, 0), 2 = ( 0, 1) 则A 1 =121 1A 2 =' 1 + 22 21 1故A在基1, 2下的矩阵为A= 2121 2 2又因为B 1=0, B 2= 2所以B 在基1， 21 1(B 2 )：=A 2 :1+ 22 21所以AB在基.1 , 2下的矩阵为AB =20 12x(x 1)3）因为0 1, 1 x, 2 n 12!，所以A 0 1 1 0A 1 (x 1) x 0" (x 1)x [x (n 3)] x(x 1) [A n 1(n 1)! (n 11+2，20 0 .下的矩阵为 B = ，另外，（AB）2=A0 1 2x(x 1) [x (n 2)](n 1)!:(n 2)]1)!x(x 1) [X (n(n 1)! 1)[x (n 2)]}0 1 0 1，所以A 在基0, !,, n 1下的矩阵为A =1 04) 因为 D 1=a 1 -b 2 ,D 2 =b1-a2 ,6D3 =1+ a3-b 4 ,D 4 = 2 +b 3 + a 4 ,D5 =3+a5-b 6 ,D 6 = 4 +b 5 + a 6，所以D 在给定基下的矩阵为 D= 5）因为（1, 2 , 3 )=( 1, 2 ,3)1 1 (1 ,2 ,3 )=( 1 , 2 , 3 ) 0 110 故A 在基1 ,2 : ,3下的矩阵为 1 1 0 10 1 B=X AX= 1 0 1 1 11 1 1 12 6）因为（1, 2 ,3 )=( 1,2 , 3)11 =( 1, 2, 3)X ,1a b 1 0 0 0 b a 0 1 0 0 0ab 10 , 0 0 b a 0 1 0 0 0 0 a b0 0b a11 010 1 ，所以1 1 11 1 1 11 1 20 0 1 1 = :2 2 0 11 0 130 21 0 30 1 1 ,2 1 0所以A( 2 ,3)=A(但已知A(3)=( 3) A( 3)=( 1 ,3)=(1727273767J7371717=(574727720757187207272477) 因为( ,3)=( 1 ,所以A(3 )=( 3)=(中定义线性变换(X)= X, A2 (X)=X A 2 (X)= 求A1, A2, A3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。

9•设三维线性空间 V 上的线性变换 A 在基1,2, 3下的矩阵为A 1 E 21 =bE 11 +dE 21 , A 1 E 22 = bE 21 +d E 22 , 故A 1在基E 11 , E 12, E 21 , E 22下的矩阵为a 0b 0 0 a 0 bA 1 =c 0d 0 0 c 0 d又因A 2 E 11 =a E 11 + b E 12, A 2 E 12 = cE 11 +d E 12 ,A 2 E 21 = aE 21 +bE 22 , A 2 E 22 = 故A 2在基E 11 , E 12, E 21 , E 22下的矩阵为2A 3E 21 = abE 11 +b E 12+adE 21 +bdE 22A 3 E 22 = bcE 11+ bdE 12 + cd E 21 +d E 22故A 3在基E 11 , E 12, E 21 , E 22下的矩阵为a 2 abac ad ab b 2 bc bdA 32ac c ad cdbc cd bd d 2A i E ii =a E11 + cE12A1 E12=a E 12 + c E22，cE 21 + d E 22 ,a c 0 0A2 =b d 0 0 0 0 a c0 0 b d又因2A 3 E 11 = a E 11 +abE 12 + acE 21 + bcE 22A3E12 =acEn+adE 12 + c 2E 21 + cd E 223)求A 在基12,2, 3下的矩阵•解 1)因A 3= a 33 3 +a 23 2a13 1A1 = a31 3 a21 2a11 1故A 在基3, 2, 1下的矩阵为a33 a32 a31 B 3a23 a 22 a21a 13a 12a112) 因a ?1A 1 = a11 1 + ~ (k 2)k故A 在1,k 2, 3下的矩阵为a11 a12 a13 A=a21 a22 a23a 31a 32a331) 求A 在基3, 22) 求A 在基1,k1下的矩阵；3下的矩阵，其中且；A 2 = a32 3 a22 2a31 3A(k 2)= k a12+ a ?2(k 2) + ka 32A 3 = a 131 + ¥(k 2)+a 33 k2，3) 因A( 1 2 )=( a11 a12 )( 13)+( a21 a22a11a12 ) 2+( a31a32)3a11ka 12B 2a 21~ —a22ka 31 ka 32a13a 23 k a 33A 2 = a12 ( 1 2)+( a22 a12) 2 + a32 3A 3= a13( 1 2 )+( a23 a13) 2 + a33 3故A基12, 2, 3下的矩阵为a11 a12 a12 a13B3 a 21 a?2 a〔1 a〔2 a22 a12 a23 a13a31 a32 a32 a33k 1 k10•设A是线性空间V上的线性变换，如果A 0,但A =0,求证,A , , A k 1(k>0)线性无关.证设有线性关系l1 l2A l k A k 10用A k 1作用于上式，得l1A k 1=0(因A n0对一切n k均成立)又因为A k 10,所以l1 0 ,于是有l2A l3A2l k A k 10再用A k 2作用之，得l2 A k 1 =0.再由，可得l2 =0.同理,继续作用下去，便可得l1 l2 l k 0即证，A , , A k 1 (k >0)线性无关.11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得A n 10但，求证A在某组下的矩阵是1 011 0证由上题知，，A ,A2, , A n1线性无关，故,A ,A2, , A n1为线性空间V的一组基.又因为A 0 1 A 0 A2 +A(A )=0 + 0 A +1A (A n 1) =0 +0 A +0 A 2 + 0 A n 1故A在这组基下的矩阵为1 011 012.设V是数域P上的维线性空间，证明：V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换•证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.13.A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换.证设A在基下1，2，，n的矩阵为A=( a j )，只要证明A为数量矩阵即可•设X为任一非退化方阵，且(1，2，n )=(1，2，，n )X则1，2，n也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X 1AX，从而即有AX=XA,这说明A 与一切非退化矩阵可交换•若取12X1n则由 A X1= X1A 知a ij=0(i j)，即得a na22A=a nn再取0 10 00 0 1 0X2 =0 0 0 11 0 0 0由A X2=X2A,可得a11 a22 a nn故A为数量矩阵，从而A为数乘变换.14•设1, 2, 3, 4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为10 2 112 1312 5 52 2 1 21) 求A在基1 1 22 4 ,23 2 34 , 3 3 4 , 4 2 4下的矩阵2) 求A的核与值域；3) 在A的核中选- 组基，把它扩充为V 的一组基，并求A在这组基下的矩阵 54) 在A的值域中选一组基,把它扩充为V的一组基, 并求A在这组基下的矩阵解1)由题设，知1 0 0 02 3 0 0(1 , 2 , 3, 4 )=(1, 2 ,3, 4 )0 1 1 01 1 1 2故A在基1, 2, 3, 4下的矩阵为1 0 0 0 1 1 02 1 1 0 0 0X 1AX = 2 3 0 0 1 2 1 3 2 3 0 0B=0 1 1 0 1 2 5 5 0 1 1 01 1 12 2 2 1 2 1 1 1 22 3 3 22 4 10 103 3 3 38 16 40 403 3 3 30 1 7 81先求A (0).设 A 1(0),它在1, 2 , 3, 4下的坐标为(1， 2 , 3 , 4),且在A2)在 1 , 2 , 3, 4下的坐标为 (0,0,0,0,),贝 y1 02 1 X 1 0 1 2 13 X 2 0 1 2 5 5 X 3 =0 22 12X 4因 rank(A)=2,故由X 2x 3 x 4 0X i 2x 2 X 3 3x 4可求得基础解系为3X1 =( 2,—,1,0)，X2 = (1, 2,0,1)若令a1=(1, 2 , 3， 4 )X1 ,a2 =(1, 2 , 3， 4)X2则a 1, a 2即为A 1(0)的一组基 所以1A (0)=L(a 1 , a ?)再求A 的值域AV.因为1一 12=2 3=2可组成AV 的基，从而AV=L( A 1 ,A 2)4) 由2)知a 1, a 2是A 1 (0)的一组基，且知故A 在基1,2, a 1, a 2下的矩阵为rank(A)=2,故 A1 ,A2, A 3, A 4发秩也为2,且A 1 ,A 2线性无关，故A 1 ,A 22, a 1, a 2是V 的一组基,又(1, 2，a1，a2 )=(4)5 2 0 0 91 0 0=21 20 022 0 04)由 2)知 A 1 =:12324 ,A 2=22 2 3 2易知A 1 ,A 2 ,3, 4是V 的一组基，且1 0 0 01 20 0(A 1, A2 ,3,4 )=(1, 2, 3, 4 )1 21 012 0 1故A 在基 A1, A 2 , 3,4下的矩阵为10 0 0 11 02 1 1 0 0 01 2 0 0 1 2 1 3 1 2 0 0 C=1 21 01 2 5 5 1 21 01 2 0 122 1212 0 15 2 2 19312= 220 0 0 00 0315.给定P 的两组基1 (1,0,1) 1 (1,2, 1)2 (2,1,0) 2 (2,2, 1)3(1,1,1)3(2, 1, 1)定义线性变换A:A i = i (i =1,2,3) 1）写出由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过度矩阵23-2113212^1 2 ^1122 3-21B=o1oo2) 写出在基3下的矩阵；3) 写出在基3下的矩阵.1)由(1, 3)=( 1 , 2 ,3)X引入P3的一组基©=(1,0,0),e2 =(0,1,0), e3=(0,0,i),则2)因(1,所以故由基3)=( e1 , e2 , e3 ) 013)=( e , e2 , e3)3到基=(e1 , e2 , e3)A1=(e1 , e2 , e3 )B=( e i , e2 , e3)A B3的过度矩阵为1X= A B=A( 1 , 2 , 3)=( 故A在基2 32 1 24)因A( 2,2, 3)=(1,2,3)3下的矩阵为A= 1232123232523 )=A( 3)X=( 3)X故A 在基1, 2, 3下的矩阵仍为X.相似.17.如果A 可逆证明AB 与BA 相似.证因A 可逆，故A 1存在，从而A 1 (AB)A=( A所以AB 与BA 相似.A 18.如果A 与B 相似,C 与D 相似证明：0 证 由已知，可设B=X 1AX, D=Y 1 CY,则-B 0 r ,与B 相似.B 0 DX 1 0A 0 X 0B 0 0 Y 10 C 0 Y = '0 D16•证明 i1i2相似，其中(i 1,i 2,,i n )是 1,2, ,n 的一个排列• 证 设有线性变换 A,使 则A( i1n)=(2,n)i1=(n) D1i 1 , i 2 , ， i n )=( i 1， D 1与 i2i n=(i2,i n )D2D 2为同一线性变换 A 在两组不同基下的矩阵这里0 Y 1i21A)BA=BA相似.2 219设A,B是线性变换，A = A, B =B证明:21) 如果(A+B) =A+B 那么AB=0 ;22) 如果,AB=BA 那么(A+B-AB) =A+B-AB.证1)因为 A = A, B =B, (A+B) =A+B由(A+B)2 =(A+B) (A+B)= A 2 +AB+BA+ B 2 ,故A+B= A +AB+BA+ B,即AB+BA=0.又2AB=AB+AB=AB-BA= A 2 B-B 2 A= A 2 B+ABA= A (AB+BA)= A0=0所以AB=0.2 22)因为 A = A, B =B, AB=BA2所以(A+B-AB) = (A+B-AB) (A+B-AB)2 2 2 2=A +BA- AB A+ AB+ B - AB -A B-BAB +ABAB=A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB=A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB=A+B- AB20.设v是数域P上维线性空间，证明:由V的全体变换组成的线性空间是n2维的•证因En， Em，E R,，E2n，，E^,耳是P n n的一组基，P n n是n2维的•所以v的全体线性变换与P n n同构，故V的全体线性变换组成的线性空间是n2维的.21.设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换证明：23)在P[x]中有一次数n的多项式f(x)，使f(A) 0;4)女口果f(A) 0,g(A) 0 ,那么d(A) 0 ,这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.5)A可逆的充分必要条件是：有一常数项不为零的多项式f(x)使f (A) 0.证1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是n2维的，所以n2+1个线性2 2 .变换A n ,A n 1 ,、、，A,E一定线性相关，即存在一组不全为零的数a n2 ,a n2 1, a1, a0使2 2.八门. ^n1 八3门2 A + 3门2 i A + A+ a° E=02 2令f(x) a n2X n a n2 1x n 1a i X a。