七、线性变换习题课1．复习线性变换的概念例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。
证明：R上：有==又故A是R上线性空间C的线性变换。
C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。
由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。
2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。
例2设A,B是线性变换，如果证明：，（k>0）证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知=AB=(BA+E)A+A-BA2=BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.设当k时结论成立,即,也即.当k+1时,=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立.例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.因为,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换.有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.A可逆10存在使=E.A是双射.A在基下的矩阵A可逆—有限维例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.证明:证法一:“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关.“”线性无关,因dimV=n,故使得=A()令使=()易见,且,即又任给设=有()==故,从A可逆.证法二:利用双射“” A是双射,则0==A()得0=(0对应0)故,线性无关.“”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.证法三:利用矩阵A可逆A在下的矩阵A可逆()A也是一组基=n线性无关例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆.证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组基为,则为V的一组基.“” A可逆,故线性无关,1,2的秩为r,n-r,和分别为1和2的基,故.“”,有dimV=dim,=(),故为AV的一组基,即线性无关,A可逆.4.小结:线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念.为V的一组基,() =()A, ()=()X为另一组基,有()=()例6在空间P[x]n中,是线性变换,求在基,下的矩阵.证明: 首先由,是线性变换,是线性变换,故是线性变换.其次,只要求出,用表示,就可得A.=(1)=1-1=0,=-==所以, (,)=(,), 所求矩阵为.例7设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为,1).求在基()下的矩阵;2).求在基()下的矩阵,其中k;3).求在基()下的矩阵.证明:1). === =()=()所求矩阵为。
又可()=()=（）故所求矩阵为A2)= ()又()=()故所求矩阵为A=A3).====所求矩阵为又()=()故所求矩阵为A = A例8,在任一组基下矩阵都相同,则是数乘变换.证明: 要证在任一组基下矩阵是数量阵.设在基下下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,()=()X为V的另一组基,在此基下的矩阵为即,由的任意性, A为数量阵.事实上,此时A与任意可换:设可逆矩阵使,则可逆,与A交换,得于是,由P.204 ex.7 3), A为数量阵,从而为数量变换.例9证明:下面两个矩阵相似,其中是1,…,n的一个排列:, .证明: 曾在二次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.设,在基()下的矩阵为A,则显然()是V的另一组基,此基下的矩阵为B.将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比,指出异同,明确求法.矩阵A线性变换特征多项式特征值特征向量有限维例11设是线性变换的两个不同特征值, 是分别属于的特征向量,证明: 不是的特征向量.证明:只要证若有这样的存在,则===而属于不同的特征值,线性无关,故,矛盾.将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和(0)作比较, 是的属于的两个特征向量,则当0时, 是的一个特征向量(属于).例12证明:如果以V中每个非零向量为特征向量,那麽是数乘变换.分析:每个非零向量都是特征值k 的特征向量每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个证明:若,有都是的特征向量.若是分别属于两个不同的特征值,那麽由上题,即不可能是的特征向量,矛盾.故,,有是属于的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是,又=k0=0,故.例13. 可逆,则1). 有特征值,则不为0;2). 是的特征值,则-1是的特征值.证法一:1).设是的特征值,是属于的特征向量,则.因可逆, -1存在,且-1L(V),有,即,而,有.2).由1),, -1是的特征值.3).的特征向量是的特征向量.证法二:当V是有限维时,设在基下的矩阵为A,则由可逆,A可逆.1).若是的特征值,则0==与A可逆矛盾.2).若是的特征值,则,且即-1是的特征值,而,故-1是的特征值.(注:一般情况与有限维时证明方法不一样;此结论要求掌握.)特殊变换的特征值例14设,若,称为对合变换,求的特征值.证明: 设是的特征值, 是相应的特征向量,有,,而,故P，即若有特征值只能是1或-1.则则确有特征值1或-1.证法二：又,若是的特征值,则-1是的特征值.且若是的属于的特征向量，则是的特征向量，必有=-1，=.,则的特征值只能是1,0;若则,即有特征值1;时,有特征值1;当的秩<n时,0也是的特征值.例15 设dimV=n, ，证明：是对合变换时必可对角化。
分析：的特征值至多有两个1和-1，从而不好利用第一个充分条件。
设法用充要条件，证明属于1的线性无关特征向量数与属于-1的线性无关特征向量数之和为n；即(E-A)X=0的基础解系个数+（-E-A）X=0的基础解系个数=n；即 r(E-A)+r(-E-A)=n.证明：设为V的一组基，且在此基下的矩阵为A，由，有A2=E,故0=E-A2=(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n，最后一个等式由Chap.4.补设r(E-A)=r0,则r(-E-A)= r(E+A)=n-r,故(E-A)X=0的基础解系有n-r个线性无关解; (-E-A)X=0的基础解系有r个线性无关解.即的属于1的线性无关特征向量有n-r个,属于-1的线性无关特征向量有r个;而有定理9,属于不同特征值的特征向量线性无关,故有n个线性无关特征向量,从而可对角化.1.由(E-A)(-E+A)=0,有,若,则=0,即1不是特征值则-1必是,两者必有一,但可不全是.2.幂等变换,可对角化,也可仿此证.例16设是4维空间V的一组基，在此基下的矩阵为.1).求在基,下的矩阵;2).求的特征值与特征向量;3).求可逆矩阵T使得T-1AT为对角阵.证明:1).==S 易知从而在下的矩阵为B=S-1AS=.2). 的特征多项式为=故的特征值为0,1,0.5P.解方程组(E-B)X=0=0:BX=0, =0因为,得基础解系.的属于0的特征向量为=其中不全为0.=1: (E-B)X=0, =0解得,,,得基础解系,的属于1的特征=向量为=其中不为0.=0.5: (0.5E-B)X=0, =0解得,,,得基础解系.的属于0.5的特征向量为=其中不为0.3).由2).所得4个特征向量,,,线性无关,可作为V的一组基,在此基下的矩阵为,而由到这组基的过渡阵为,且.例17设是4维线性空间V的一组基,已知线性变换在此基下的矩阵为1).求在以下基下的矩阵:,,,2).求的核与值域.3).在的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求在此基下的矩阵.4).在中选一组基扩充为V的基,并求在此基下的矩阵.证明:1).由基到的过渡矩阵为,在下的矩阵为2).,设()0==()=()AA==0, =0解此齐次线性方程组得所以基础解系为(-4,-3,2,0),(-1,-2,0,1)从而是的一组基,即=.因dim=4-dim=4-2=2,而=,的坐标列为A 的列,且A的前2列线性无关,从而线性无关,即=.3).由(),及故向量组()=()=()Q线性无关,即是V的一组基,此基由的一组基扩充而成,其中Q为由到的过渡阵.在下的矩阵为(其中后两列是0因为中元被作用后在任何基下的坐标均为(0,0,0,0)’)4).()=() ,而故向量组()=()=()P线性无关,是V的一组基,由的基扩充而成,由到的过渡阵为P,在此基下的矩阵为(后两行为0因为任一向量被作用后都在中,由线性表出).例18设,,证明:1).与有相同的值域当且仅当;2). 与有相同的核当且仅当.证明:1).“”：故存在，于是“”：，即，同理，故。
2). “”：即故同理“”：有同理,故例19设是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间,表示由W中向量的像组成的子空间,证明:dim()+dim()=dimW分析:定理11 dim()+dim()=dimV的证明中,取的基,扩充为V的基.证明:取的一组基,将它扩充为W的一组基,即W=L(,)由于故W=L(,)=L()若有即存在使得=故有即线性无关，dim W=m-r=dimW-dim()附注：dim()+dim()=dimV是对V而言的，对子空间的值域和核也一样。
例20设为n维线性空间V的线性变换,证明:的秩的秩+的秩-n.分析:chap4补10.(p209) r(AB)r(A)+r(B)-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.证法一: 设在基下的矩阵分别为A,B,则的秩= r(AB), 的秩= r(A), 的秩= r(B).由chap4.补10. r(AB)r(A)+r(B)-n,得证.证法二:注意到的秩=dim,可用定理11.由定理11和补9, 秩(AB)=dim=dim-dim()而,dim()dim故秩()dim-dim=秩-(n-秩)= r(A)+r(B)-n.例21设,W是子空间,若可逆,证明:W也是-子空间.注7.8.1 在证时,有人认为可逆,从而是一一对应,故既单(={0},={0})又满(),从而,不必考虑有限维,这是错误的: 在间一一对应,不是在间一一对应.反例:V=P[x]=L(1,x,x2,x3,…),W={f(x2)x2|f(x)}=L(x2,x4,x3,…)显然可逆(因是一一对应),但如.另在间单,dimW有限,因而在间满.例22.设V是复数域上n维线性空间,,,证明:1).如果是的一个特征值,那麽是的不变子空间;2).至少有一个公共特征向量.证明:1). 是子空间, ,故使得所以,2).因为V是C上的线性空间, 至少有一个特征值,设为的特征值,由1),为子空间.令,则有特征值,设为,则存在0使得,故为的公共特征向量.注7.8.2 此题可推广到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量.例23设证明:1).W是子空间,,则W=V;2).{0}是子空间,则;3).是子空间,,则或.证明:1).由题意,()=()若,W为子空间,有2).令,则故又由得=如此继续,设中第一个非零的为,则得.3).若,,但,矛盾.例24 可逆的,为上三角阵.分析:A与Jordan矩阵相似,而若当形是下三角阵,考虑转置.证明:存在可逆,为若当形矩阵,故()’=是上三角阵,即A相似于一个上三角阵。