线性变换习题一、填空题1. 设σ是3P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ∀∈，1(1,0,0),ε=2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为_______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。

2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=，n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。

3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是112201121-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。

4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。

5. 设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。

6. 若n nA P⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 。

7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,,,n x x x -下的矩阵为 。

8. 在22P⨯中，线性变换10:20A A σ⎛⎫→⎪⎝⎭在基121001,,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭300,10E ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 40001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭下的矩阵是 。

9. 设321502114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ，1λ2λ3λ= 。

10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，它与 同构。

11. 已知n 阶方阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。

12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则=||A 。

13. 设σ为数域P 上的线性空间V 的线性变换,若σ是单射,则1(0)σ-= 。

14. 设三阶方阵A 的特征值为1,2,-2,则|2|A = 。

15. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,2,3,,n x x nx -下的矩阵为 。

16. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基231,,εεε下的矩阵为 。

17. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是112201121-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则σ 在基213,,ααα下的矩阵是 。

18. 设线性变换σ在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011，线性变换τ在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101，那么στ+在基21,εε下的矩阵为 . 19. 已知n 阶方阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。

20. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基321,,εεε下的 矩阵为 。

21. 在3R 中，若向量组1(1,1,0)t α=+，2(1,2,0)α=，23(0,0,1)t α=+线性相关，则t = 。

22. 若线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为211011121-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基321,,εεε下的矩阵为矩阵为 。

23. 若n n A P ⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 。

二、选择题1. 下列哪种变换一定是向量空间[]n F x 的线性变换（ ）。

A ．()()()x x f x f +=δB ．()()()dx x f x f ⎰=δC ．()()()x f x f '=δD ．()()()()x f x f x f +=2δ2. 当n 阶矩阵A 适合条件（ ）时，它必相似于对角阵。

A ．A 有n 个不同的特征向量B ．A 是三角矩阵C ．A 有n 个不同的特征值D ．A 是可逆矩阵 3. 设δ是向量空间V 上的线性变换，且δδ22=，则δ的所有特征值为（ ）。

A ．2 B ．0，2 C ．0 D ．0，2，1 4. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。

A ．σ()321,,x x x =()333123,,x x x B ．σ()321,,x x x =()33221,,2x x x x x -- C ．σ()321,,x x x =()0,sin ,cos 21x x D ．()123,,x x x σ=()21,0,0x5. 设12,,,r ααα是向量空间V 的线性相关的向量组，σ是V 的一个线性变换，则向量组12,,,r ααα在σ下的像12(),(),,()r σασασα（ ）。

A ．线性无关B ．线性相关C ．线性相关性不确定D ．全是零向量 6. n 阶方阵A 有 n 个不同的特征值是A 可以对角化的（ ）。

A ．充要条件B ． 充分而非必要条件C ．必要而非充分条件D ． 既非充分也非必要条件 7.设σ是向量空间V 的线性变换且2σσ=，则σ的特征值（ ）。

A ．只有1B ．只有1-C ．有1和1-D ．有0和18. 如果方阵A 与对角阵111D ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则10A =（ ）。

A . EB . AC . E -D . 10E9. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n阶单位矩阵，则（ ）。

A ．E A EB λλ-=- B ．A 与B 有相同的特征向量和特征值C ．A 与B 相似于同一个对角矩阵D ．B A =10. 设4级矩阵A 与B 相似，B 的特征值是1，2，3，4，则A 的行列式是（ ）。

A ．-24B ．10C ．24D ．不能确定11. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换,那么下列说法错误的是（ ）。

A.σ是单射}0{)(=⇔σKerB.σ是满射V =⇔)Im(σC.σ是双射}0{)(=⇔σKerD.σ是双射⇔σ是单位映射12. 设A 为3阶矩阵,且E A E A E A 2,,-+-均不可逆,则错误的是（ ）。

A.A 不相似于对角阵B. A 可逆C. 0||=+E AD. 0||=-E A 13. 设A 为3阶矩阵,且其特征多项式为)2)(1)(1()(-+-=λλλλf ,则错误的是（ ）。

A.A 相似于对角阵B. A 不可逆C. 0||=+E AD. 0||=-E A 14. n 维线性空间V 的线性变换可以对角化的充要条件是（ ）。

A ．σ有n 个互不相同的特征向量B ．σ有n 个互不相同的特征根C ．σ有n 个线性无关的特征向量 D. σ不存在n 个互不相同的特征根 15. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。

A ．σ()321,,x x x =()333123,,x x x B ．σ()321,,x x x =()122332,5,6x x x x x ++ C ．σ()321,,x x x =()12cos ,,0x x D ．()123,,x x x σ=()2213,0,x x 16.设δ是向量空间V 上的线性变换，且2E δ=，则δ的所有特征值为（ ）。

A ．2B ．-1，1C ．0D ．0，2，1 17. n 维线性空间V 的线性变换σ可以对角化的充要条件是（ ）。

A . σ有n 个互不相同的特征向量B . σ有n 个互不相同的特征根C . σ有n 个线性无关的特征向量D ．σ是可逆线性变换 18. 2. 设矩阵A 的每行元素之和均为1，则()一定是E A A 232+-的特征值。

A . 0B . 1C . 2D . 319. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。

A ．σ()321,,x x x =()23123,,x x x B ．σ()321,,x x x =()123322,,x x x x x -- C ．σ()321,,x x x =()123cos ,sin ,sin x x x D ．()123,,x x x σ=()212,,0x x20. 设()L V σ∈，则下列各式成立的是（ ）。

A . dimIm dim Ker n σσ+=B .Im Ker V σσ+=C . Im Ker V σσ⊕=D .Im {0}Ker σσ=三、计算题1. 设3[]R x 表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而1()1f x x =-，22()1f x x =+，23()2f x x x =+是3[]R x 的一组基，线性变换σ满足21()2f x x σ=+，2()f x x σ=，23()1f x x x σ=++（1）求σ 在已知基下的矩阵；（2）设2()123f x x x =++，求()f x σ。

2. 设σ是二维列向量空间2P 的线性变换：设122x x P x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，定义σ1111x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

（1） 求值域()2P σ的基与维数；（2）求核1(0)σ-的基与维数。

3. 设线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是111222111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（1） 求矩阵A 以及线性变换σ的特征值与特征向量；（2）判断σ是否可以对角化（即线性变换σ是否在某组基下的矩阵为对角形），若不能对角化，说明理由；若可以对角化，求可逆阵T ，使1T AT -为对角形。

4. 令3R 表示实数域R 上的三元列向量空间，令111111222A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若3R β∀∈，作变换()A σββ=。

（1） 证明σ为3R 上的线性变换；（2）求ker()σ及其维数；（3）求Im()σ及其维数。

5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000121A ，（1） 求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵。

6. 令3R 表示实数域R 上的三元列向量空间，110011121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010ε⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3100ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

（1） 若112223331,,αεεαεεαεε=-=-=+，证明123,,ααα为3R 的一组基； （2） 求123,,εεε到123,,ααα的过渡矩阵；（3） 若3R β∀∈，作变换()A σββ=，证明σ为3R 上的线性变换； （4） 求ker()σ及其维数； （5）求Im()σ及其维数。

7. 设σ是3R 的线性变换,12312323123(,,)(2,,2)x x x x x x x x x x x σ=+-++-。