第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域第三章 (对应学生用书(文)、(理)9~10页)1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)=x +1+12-x的定义域为________. 答案:{x|x≥-1且x≠2}2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)=(x -1)2-1,x ∈{-1,0,1,2,3}的值域是________.答案:{-1,0,3}解析:f(-1)=f(3)=3,f(0)=f(2)=0,f(1)=-1,则所求函数f(x)的值域为{-1,0,3}.3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)=2x5x +1的值域为____________.答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25解析:由题可得f(x)=2x 5x +1=25-25(5x +1).∵ 5x +1≠0,∴ f (x)≠25,∴ 值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________.(填序号) ① f(x)=x 0,g(x)=1x ;② f(x)=x x,g(x)=x ;③ f(x)=x 2,g(x)=(x)4;④ f(x)=|x|,g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x<0.答案:④解析:两个函数是否为同一函数,主要是考查函数三要素是否相同,而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的,故只须判断定义域和对应法则是否相同,④符合.5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)=x 2-2x ,x ∈[a ,b]的值域为[-1,3],则b -a 的取值范围是________.答案:[2,4]解析:f(x)=x 2-2x =(x -1)2-1,因为x∈[a,b]的值域为[-1,3],所以当a =-1时,1≤b ≤3;当b =3时,-1≤a≤1,所以b -a∈[2,4].1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合. (2) 求定义域的步骤① 写出使函数式有意义的不等式(组). ② 解不等式组.③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出). (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零.② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R .④ y =a x,y =sinx ,y =cosx ,定义域均为R . ⑤ y =tanx 的定义域为{x|x≠k π+π2,k ∈Z }.⑥ 函数f(x)=x a的定义域为{x|x≠0}. 2. 函数的值域(1) 在函数y =f(x)中,与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值,函数值的集合叫函数的值域.(2) 基本初等函数的值域① y =kx +b(k≠0)的值域是R .② y =ax 2+bx +c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4ac -b24a,+∞);当a<0时,值域为⎝ ⎛⎥⎤-∞,4ac -b 24a . ③ y =kx(k≠0)的值域为{y|y≠0}.④ y =a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). ⑤ y =log a x(a>0且a≠1)的值域是R . ⑥ y =sinx ,y =cosx 的值域是[-1,1]. ⑦ y =tanx 的值域是R . 3. 最大(小)值一般地,设函数f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1) 对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M);(2) 存在x 0∈I ,使得f(x 0)=M ,那么称M 是函数y =f(x)的最大(小)值. [备课札记]题型1 求函数的定义域例1 求下列函数的定义域: (1) y =12-|x|+lg(3x +1);(2) y =4-x2ln (x +1).解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2-|x|≠0,3x +1>0 ⎩⎪⎨⎪⎧x≠-2且x≠2,x>-13,解得x>-13且x≠2,所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>-13且x≠2. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧ln (x +1)≠0,4-x 2≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧x>-1且x≠0,-2≤x≤2, 解得-1<x<0或0<x≤2,所求函数的定义域为(-1,0)∪(0,2]. 变式训练(1) 求函数y =(x +1)|x|-x的定义域;(2) 若函数y =f(x)的定义域是[0,2],求函数g(x)=f (2x )x -1的定义域.解:(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠0,|x|-x>0,得⎩⎪⎨⎪⎧x≠-1,x<0, 所以x<-1或-1<x<0,即定义域是(-∞,-1)∪(-1,0).(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠0,0≤2x ≤2,得0≤x<1,即定义域是[0,1).题型2 求函数的值域例2 求下列函数的值域: (1) y =x -3x -2;(2) y =x 2-2x -3,x ∈(-1,4]; (3) y =2x -1x +1,x ∈[3,5];(4) y =x 2-4x +5x -1(x>1).解:(1) (换元法)设3x -2=t ,t ≥0,则y =13(t 2+2)-t =13⎝ ⎛⎭⎪⎫t -322-112,当t =32时,y 有最小值-112,故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-112,+∞.(2) (配方法)配方,得y =(x -1)2-4,因为x∈(-1,4],结合图象知,所求函数的值域为[-4,5].(3) (解法1)由y =2x -1x +1=2-3x +1,结合图象知,函数在[3,5]上是增函数,所以y max=32,y min =54,故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54,32.(解法2)由y =2x -1x +1,得x =1+y 2-y.因为x ∈[3,5],所以3≤1+y 2-y ≤5,解得54≤y ≤32,即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54,32. (4) (基本不等式法)令t =x -1,则x =t +1(t>0),所以y =(t +1)2-4(t +1)+5t =t 2-2t +2t =t +2t -2(t>0).因为t +2t≥2t·2t=22,当且仅当t =2,即x =2+1时,等号成立, 故所求函数的值域为[22-2,+∞). 备选变式(教师专享) 求下列函数的值域: (1) f(x)=1-x +x +3;(2) g(x)=x 2-9x 2-7x +12;(3) y =log 3x +log x 3-1.解:(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1-x≥0,x +3≥0,解得-3≤x≤1.∴ f ()x =1-x +x +3的定义域是[]-3,1. ∵ y ≥0,∴ y 2=4+2()1-x ()x +3,即y 2=4+2-()x +12+4()-3≤x≤1.令t ()x =-()x +12+4()-3≤x≤1.∵ x ∈[]-3,1,由t ()-3=0,t ()-1=4,t ()1=0, ∴ 0≤t ≤4,从而y 2∈[]4,8,即y∈[]2,22,∴ 函数f ()x 的值域是[]2,22.(2) g ()x =x 2-9x 2-7x +12=()x +3()x -3()x -3()x -4=x +3x -4=1+7x -4()x≠3且x≠4. ∵ x ≠3且x≠4,∴ g ()x ≠1且g ()x ≠-6.∴ 函数g ()x 的值域是()-∞,-6∪()-6,1∪()1,+∞. (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}. 当x>1时,log 3x>0,y =log 3x +log x 3-1≥2log 3x ·log x 3-1=1;当0<x<1时,log 3x<0,y =log 3x +log x 3-1 =-[(-log 3x)+(-log x 3)]≤-2-1=-3. 所以函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞). 题型3 函数值域和最值的应用例3 已知函数f(x)=x 2+4ax +2a +6. (1) 若f(x)的值域是[0,+∞),求a 的值;(2) 若函数f(x)≥0恒成立,求g(a)=2-a|a -1|的值域. 解:(1) ∵ f(x)的值域是[0,+∞), 即f min (x)=0,∴ 4(2a +6)-(4a )24=0,∴ a =-1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立,则Δ=(4a)2-4(2a +6)≤0,即2a 2-a -3≤0, ∴ -1≤a≤32,∴ g(a)=2-a|a -1|=⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a +2,-1≤a≤1,-a 2+a +2,1<a ≤32. 当-1≤a≤1,g(a)=a 2-a +2=⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+74,∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74,4; 当1<a≤32,g(a)=-a 2+a +2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+94,∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54,2. ∴ 函数g(a)=2-a|a -1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54,4. 备选变式(教师专享)已知函数f(x)=1-2a x -a 2x(a>1). (1) 求函数f(x)的值域;(2) 若x∈[-2,1]时,函数f(x)的最小值是-7,求a 的值及函数f(x)的最大值.解:(1) 由题意,知f(x)=2-(1+a x )2,因为a x>0,所以f(x)<2-1=1,所以函数f(x)的值域为(-∞,1).(2) 因为a>1,所以当x∈[-2,1]时,a -2≤a x ≤a ,于是f min (x)=2-(a +1)2=-7,所以a =2,此时,函数f(x)的最大值为2-(2-2+1)2=716.1. (2013·大纲)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x +1)的定义域为________.答案:⎝⎛⎭⎪⎫-1,-12 解析:由-1<2x +1<0,得-1<x<-12,所以函数f(2x +1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-12.2. (2013·山东)函数f(x)=1-2x+1x +3的定义域为________.答案:(-3,0]解析:由题意,⎩⎪⎨⎪⎧1-2x≥0,x +3>0,所以-3<x≤0,即定义域为(-3,0].3. (2013·北京)函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ,x ≥1,2x ,x<1的值域为________.答案:(-∞,2)解析:当x≥1时,log 12x ≤log 121=0,即f(x)≤0;当x<1时,0<2x <21,即0<f(x)<2,所以函数f(x)的值域为(-∞,2).4. (2013·徐州三模)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,0≤x<1,2x +12,x ≥1,若a>b ≥0,且f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是________.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫54,3解析:画出分段函数的图象,从图象可知,12≤b<1,1≤a<log 252,f(a)=f(b),得bf(a)=bf(b)=b(b +2)=(b +1)2-1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1上单调增,故bf(a)的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54,3.1. 设函数g(x)=x 2-2(x∈R ),f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧g (x )+x +4,x <g (x ),g (x )-x ,x ≥g (x ),则f(x)的值域是________. 答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-94,0∪(2,+∞)解析:由题意f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x +2,x <g (x ),x 2-x -2,x ≥g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x +2,x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x 2-x -2,x ≥g (x ),x ∈(-1,2),下面分段求值域,再取并集. 2. 已知二次函数f(x)=ax 2-x +c(x∈R )的值域为[0,+∞),则c +2a +a +2c 的最小值为________.答案:10解析:由二次函数的值域是[0,+∞),可知该二次函数的图象开口向上,且函数的最小值为0,因此有a >0,4ac -14a =0,从而c =14a >0.又c +2a +a +2c =⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +8a +⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2+4a 2≥2×4+2=10,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a =8a ,14a 2=4a 2,即a =12时取等号,故所求的最小值为10.3. 已知函数f(x)=log 13(-|x|+3)的定义域是[a ,b](a 、b∈Z ),值域是[-1,0],则满足条件的整数对(a ,b)有________对.答案:5解析:由f(x)=log 13(-|x|+3)的值域是[-1,0],易知t(x)=|x|的值域是[0,2],∵ 定义域是[a ,b](a 、b∈Z ),∴ 符合条件的(a ,b)有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共5个.4. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx(a 、b 为常数,且a≠0)满足条件:f(x -1)=f(3-x),且方程f(x)=2x 有等根.(1) 求f(x)的解析式;(2) 是否存在实数m 、n(m <n),使f(x)定义域和值域分别为[m ,n]和[4m ,4n]?如果存在,求出m 、n 的值;如果不存在,说明理由.解:(1) f(x)=-x 2+2x.(2) 由f(x)=-x 2+2x =-(x -1)2+1,知f max (x)=1,∴ 4n ≤1,即n≤14<1.故f(x)在[m ,n]上为增函数,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f (m )=4m ,f (n )=4n ,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =0, ∴ 存在m =-1,n =0,满足条件.1. 函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质的基础,因此,我们一定要树立函数定义域优先意识.2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用.3. 求函数值域的常用方法有:图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等,理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”,但在具体的解题中要与初等方法密切配合.请使用课时训练(A)第2课时(见活页).[备课札记]。