证明：对于任意正整数 n 3, 2 4 f (2n ) 2 2 （海淀二模考了相类似的，自行研究一下）
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n2 n2
【附录 06-11 高考题压轴题】 【题1】 （2011）若数列 An ： a1 ， a2 ，…， an (n 2) 满足 | ak 1 ak | 1（ k 1 ，2，…，
B {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (3, 3),(1,1), (1, 2) } 是否具有性质 S .
（2） 证明：对于任意 n 6 ，存在具有性质 S 的向量集. （3） 证明：具有性质 S 的有限向量集合都至少有 6 个元素.
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【猜题6】 若正整数 m， 对于任一个 n 元整数集 A= a1 ， a2 ， ， an ，取每一对不同的 n ≥ 2， 数 a j ai ， 由这 C n2 个差按从小到大的顺序排成一个数列， 称为集合 A 的“衍生数列”， 记为 A ．衍生数列 A 中能被 m 整除的数的个数记为 A m （1）集合 A {1，，， 3 7 11， 23} ，当 m 2 时，求 A 2 （2）设 m 为正整数，若整数 a 与 b 之差 a b 为 m 的倍数，则称 a 与 b 对模 m 同余．且 对于给定的正整数 m ≥ 2 ，若整数 a 被 m 除得的余数为 i ， i {0，， 1 ， m 1} ，则 称 a 属于模 m 的剩余类 Ki ． 证明：集合 A {m ， m2 ， m3 ， ，mn } 的衍生数列属于 km1 ．
高考压轴题猜题讲义
【猜题1】 （参考 07 高考题和西城二模文科和朝阳一模理科） 设 n 是正整数， 如果若干个正整数所组成的数组 (a1 , a2 , 且 a1 a2
ak n ， 则称 (a1 , a2 , , ak )n |(a1 , a2 , , ak ) 满足 a1 a2 ak ，
a1 a2 an an ； 1 1 a11 a2 an
. k. s . 5 .
（Ⅲ）证明：当 n 5 时， a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列.
T1 将数列 A 【题4】 （2008） 对于每项均是正整数的数列 A：a1，a2， ，an ， 定义变换T1 ， n，a1 1，a2 1， ，an 1 ．对于每项均是非负整数的数列 变换成数列 T1 ( A)： B：b1，b2， ，bm ，定义变换 T2 ，T2 将数列 B 各项从大到小排列，然后去掉所有
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其中 (a，b) 是有序数对，集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n 若对于任意的 a A ，总有 a A ，则称集合 A 具有性质 P
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为零的项，得到数列 T2 ( B) ；又定义
S ( B) 2(b1 2b2
2 mbm ) b12 b2
2 bm ．
1， 2， ) ． 设 A0 是每项均为正整数的有穷数列，令 Ak 1 T2 (T1 ( Ak ))(k 0，
（Ⅰ）如果数列 A0 为 5，3，2，写出数列 A1，A2 ； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 A ，证明 S (T1 ( A)) S ( A) ； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 ，存在正整数 K ， 当 k ≥ K 时， S ( Ak 1 ) S ( Ak ) ．
A B (| a1 b1 |,| a2 b2 |, … | an b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B)

i 1
| aபைடு நூலகம் b1 |
（Ⅰ）证明： A, B, C Sn , 有A B Sn ，且 d ( A C, B C ) d ( A, B) ; （Ⅱ） 证明：A, B, C Sn , d ( A, B), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P Sn ， P 中有 m(m≥2)个元素， 记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d (P). 证明： d （P）≤
, ak1 } 与集合 {b1 , b2 ,
, bk2 } 相等”.
（1） 当 n 6 时，写出 Tn , Dn , On （2） 证明：质数没有 Tn 形式的分拆. （3） 记 A 为 A 集合中元素的个数，判断 Dn 与 On 的大小关系，并证明你的结论.
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【猜题2】 （参考 2011 海淀二模） 对于数列 A：a1，a2， ，an ，若满足 ai 0,1 (i 1, 2,3, , n) ，定义“补数列 ”： 原有的每个 0 都变成 1， 例如 A :1,0,1， 则补数列为 0,1,0 . A 中原有的每个 1 都变成 0， 现在从 0 开始，每次在其后加上已得数列的 “ 补数列 ” ，我们称得到的数列为 Morse-Thue 数列： 0, 01, 0110, 01101001, 记最终得到的数列的每一位数字依次为 x(0), x(1), x(2), （1）证明： x(2n) x(n), x(2n 1) 1 x(2n) ； （2）证明： x(n) 1 x(n 2k ) ，这里 2 k 是不大于 n 的 2 的最大幂次 （3）证明：该数列不是周期数列； （4）将非负整数从小到大用二进制表示： 0,1,10,11, . 现在将每个数的各位数字 .
, bn} ，满足 bi1 bi ，且 bi i 或 bi1 (i 1 ， 2， , n ) .
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【猜题5】 （参考 07 年高考题） 平面上不含零向量的集合 A , 若其至少有 3 个元素，且对任意 u A , 存在 v , w A , 使得 v w , u v w ，则称 A 具有性质 S. （1） 检验集合 A {(1,1), (1, 1), (1,1), (1, 1), (2, 0), (2, 0)},
a2 （3） 证明： 对于一个整数 m ≥ 2 ， n 元整数集 A a1 ，
对应的“衍生数列”满足不等式 A m ≥ B m
an 及集合 B {1，， 2 3 n} 所
【 附 加 】 设 n 是 正 整 数 ， 如 果 若 干 个 非 负 整 数 所 组 成 的 数 组 (a1 , a2 ,
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mn . 2(m 1)
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【题3】 （2009） 已知数集 A a1 , a2 , 意的 i, j 1 i j n ， ai a j 与
an 1 a1 a2
aj ai
an , n 2 具有性质 P ；对任
两数中至少有一个属于 A .
（Ⅰ）分别判断数集1,3, 4 与1, 2,3,6 是否具有性质 P ，并说明理由； （Ⅱ）证明： a1 1 ，且
之和用 mod 2 处理，就得到一个 0 1 数列. 证明：这个数列就是 Morse-Thue 数列.
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【猜题3】 设集合 Sn {1, 2,
（规定空 , n} . 对 Sn 的子集 X , 将 X 中所有数之和称为 X 的容量
集的容量为 0） ，若 X 的容量为奇（偶）数，则称 X 为 Sn 的奇（偶）子集. （1） 证明： Sn 的奇子集与偶子集的个数相等. （2） 证明：当 n 3 时， Sn 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等. （3） 当 n 3 时，求 Sn 的所有奇子集的容量之和.
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（I）检验集合 0， ， 2， 3 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合， 1， 2， 3 与 1 写出相应的集合 S 和 T ； （II）对任何具有性质 P 的集合 A ，证明： n ≤ （III）判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论
T ( A) : 0, T (a1), T (a2 ),
的项的个数 (i 1, 2,
, n) ，令 Ak 1 T ( Ak )(k 0,1, 2,
)
（1）已知数列 A0 分别为 {0,1,2,3} 和 {0,0,2,0,1,3} ，请写出对应的数列 A1 , A2 , A3 ; （2）数列 B {0, b1 , b2 , 求证： T (B) B （3）求证：对任意一个上述的数列 A0 , 当 k n 时， Ak T ( Ak )
, ak ) P n , 且a1 a2
, ak )n |(a1 , a2 ,
, ak ) Pn , 且 a1 , a2 ,
, ak 是奇数 } . 并且规定：“ n 的
两个分拆 (a1 , a2 ,
{a1 , a2 ,
, ak1 )n ， (b1 , b2 ,
, bk2 ) n 是相同的分拆”等价于“ k1 k2 且集合
n 2a1 2a2
, ak ) 满 足
2ak ，令 f (n) 为正整数 n 的不同表示法的个数. 如果两个表示法的
差别仅在于它们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的. 例如
f (4) 4 ，因为 4 恰有下列四种表示法： 4, 2+2, 2+1+1,1+1+1+1 .
n 1） ，则称 An 为 E 数列. 记 S ( An ) a1 a2
an .
（Ⅰ）写出一个满足 a1 a5 0 ，且 S ( A5 ) 0 的 E 数列 A5 ；
n 2000 ， （Ⅱ） 若 a1 12 ， 证明： E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an 2011 ；