【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程,也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数,与超越方程相对的是代数方程.超越方程的求解无法利用代数几何来进行.大部分的超越方程求解没有一般的公式,也很难求得解析解.在探求诸如0109623=-+-x x x ,22ln 22+-=-x x x x 方程的根的问题时,我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决.此类题的一般解题步骤是:1、构造函数,并求其定义域.2、求导数,得单调区间和极值点.3、画出函数草图.4、数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x 轴的交点情况求解.【典例指引】例1.已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值.(1)求实数a 的值;(2)设()()()22ln F x x x x f x =+--,其导函数为()F x ',若()F x 的图象交x 轴于两点()()12,0,,0C x D x 且12x x <,设线段CD 的中点为(),0N s ,试问s 是否为()0F x '=的根?说明理由.【思路引导】(1)先求导数,再根据()20f e -'=,解得1a =,最后列表验证(2)即研究1202x x F +⎛⎫=⎪⎝⎭'是否成立,因为121212412x x F x x x x +⎛⎫=+--⎪+⎭'⎝,利用21112ln 0x x x --=,22222ln 0x x x --=得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-,所以()121212122ln ln 42x x x x F x x x x -+⎛⎫=- ⎪-+⎭'⎝=0,转化为()21ln 01t t t --=+.其中12x t x =,最后利用导数研究函数()()21ln 1t u t t t -=-+单调性,确定方程解的情况(2)由(1)知函数()22ln F x x x x =--.∵函数()F x 图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0C x D x ,(12x x <),∴21112ln 0x x x --=,22222ln 0x x x --=.两式相减得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-()221F x x x-'=-.学*科网()1212121212122ln ln 4412x x x x F x x x x x x x x -+⎛⎫=+--=-⎪+-+⎝⎭'.下解()1212122ln ln 40x x x x x x --=-+.即()1212122ln 0x x x x x x --=+.令12x t x =,∵120x x <<,∴01t <<,即()21ln 01t t t --=+.令()()21ln 1t u t t t -=-+,()()()()22211411t u t t t t t -=-=+'+.又01t <<,∴()0u t '>,∴()u t 在()0,1上是増函数,则()()10u t u <=,从而知()1212122ln ln 40x x x x x x --+<+-,故1202x x F +⎛⎫< ⎪⎝⎭',即()0F s '=不成立.故s 不是()0F x '=的根.学*科网例2.设函数()21ln 2f x x ax bx =--(1)当3,2a b ==时,求函数()f x 的单调区间;(2)令()()21(03)2a F x f x ax bx x x =+++<≤,其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立,求实数a 的取值范围.(3)当0,1a b ==-时,方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解,求实数m 的取值范围.【思路引导】(1)先求导数()'f x 然后在函数的定义域内解不等式()'0f x >和()()'0,'0f x f x 的区间为单调增区间,()'0f x <的区间为单调减区间;(2)先构造函数()F x 再由以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立,知导函数12k ≤恒成立,再转化为200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭求解;(3)先把握()f x mx =有唯一实数解,转化为ln 1xm x=+有唯一实数解,再利用单调函数求解.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义,属于难题.利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤:①确定函数()f x 的定义域;②对()f x 求导;③令()'0f x >,解不等式得x 的范围就是递增区间;令()'0f x <,解不等式得x 的范围就是递减区间.例3.已知函数()(1)讨论的单调性;(2)若关于的不等式的解集中有且只有两个整数,求实数的取值范围.【思路引导】(1)求出,分两种情况讨论,分别令得增区间,令得减区间;(2),令,利用导数研究其单调性,结合零点定理可得结果.试题解析:(1),当时,在上单调递减,在单调递增;当时,在上单调递增,在单调递减;(2)依题意,,令,则,学*科网令,则,即在上单调递增.又,,存在唯一的,使得.当,在单调递增;当,在单调递减.,,,且当时,,又,,.学*科网故要使不等式解集中有且只有两个整数,的取值范围应为.【新题展示】1.【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数,.若(1)求实数的值;(2)若关于的方程有实数解,求实数的取值范围.【思路引导】(1)求出函数的导数,得到关于a的方程,解出即可;(2)得到xlnx k,令g(x)=xlnx,根据函数的单调性求出k的范围即可.【解析】所以当时,,即的值域为.所以使方程有实数解的的取值范围.2.【2019浙江台州上学期期末】设函数,R.(Ⅰ)求函数在处的切线方程;(Ⅱ)若对任意的实数,不等式恒成立,求实数的最大值;(Ⅲ)设,若对任意的实数,关于的方程有且只有两个不同的实根,求实数的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)求出函数在处的导数后可得切线方程.(Ⅱ)参变分离后求函数的最小值可得的最大值.(Ⅲ)因为,故无零根,参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同的交点,从而得到实数的取值范围.【解析】(Ⅰ),.且,所以在处的切线方程为.所以.(其中)所以的最大值为.(ⅰ)当时,即时,则,即在,单调递增,且当时,的取值范围为;当时,的取值范围为.此时对任意的实数,原方程恒有且只有两个不同的解.(ⅱ)当时,有两个非负根,,所以在,,单调递增,单调递减,所以当时有4个交点,或有3个交点,均与题意不合,舍去.(ⅲ)当时,则有两个异号的零点,,不妨设,则在,单调递增;在,单调递减.当时,的取值范围为,当时,的取值范围为,所以当时,对任意的实数,原方程恒有且只有两个不同的解.所以有,,得.由,得,即.所以,,.故.所以.所以当或时,原方程对任意实数均有且只有两个解.3.【2019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数.(1)若关于的方程在内有两个不同的实数根,求实数的取值范围.(2)求证:当时,.【思路引导】(1)关于的方程在内有两个不同的实数根等价于,x与y=a有两个不同的交点;(2)要证当时,即证【解析】(2)证明:,由得在上单调递增,又,根据零点存在定理可知,存在,使得当时,,f(x)在上单调递减;当时,,f(x)在上单调递增;故.由,得到,即,,故,其中,令,,由,得到在上单调递减,故,即,综上:有当时,.【同步训练】1.已知函数()21e 2x f x t x -=--(R t ∈),且()f x 的导数为()f x '.(Ⅰ)若()()2F x f x x =+是定义域内的增函数,求实数t 的取值范围;(Ⅱ)若方程()()222f x f x x x +=--'有3个不同的实数根,求实数t 的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)只需()0f x '≥,即()()2121e 2x t x g x ≤-=恒成立,求出()min g x 即可得结果;(Ⅱ)原方程等价于227e 2x t x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,研究函数()227e 2x h x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调性,结合图象可得结果.令()0h x '=,解得3x =-或1x =.列表得:x (),3-∞-3-()3,1-1()1,+∞()h x '+0-0+()h x 增极大值减极小值增由表可知当3x =-时,()h x 取得极大值65e 2-;当1x =时,()h x 取得极小值23e 2-.又当3x <-时,2702x x +->,2e 0x >,此时()0h x >.学*科网因此当3x <-时,()650,e 2h x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;当31x -<<时,()2635e ,e 22h x -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭;当1x >时,()23e ,2h x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭,因此实数t 的取值范围是650,e 2-⎛⎫ ⎪⎝⎭.2.已知函数()322ln 3f x ax x =--的图象的一条切线为x 轴.(1)求实数a 的值;(2)令()()()g x f x f x =+',若存在不相等的两个实数12,x x 满足()()12g x g x =,求证:121x x <.【思路引导】(1)对函数求导,由题可设切点坐标为()0,0x ,由原函数和切线的斜率为0可得方程组,解方程组得a 值;(2)由题知()32211ln 3g x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,可构造去绝对值后的函数,利用导数与函数单调性的关系,判断()g x 的单调性,再构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,利用导数判断出()G x 的单调性,最后可令1201x x <<<,利用()G x 单调性可得结论.()()(),1{,01h x x g x h x x ≥=-<<且()g x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增,()10g =,当1x >时,101x<<,学*科网记()()()()()1111G x g x g h x h f x f x f f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦'',记函数()y f x ='的导函数为()y f x ='',则()()()221111G x f x f x f f x x x x ⎛''''''⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎝'⎭⎭3.已知函数()()ln f x a x x =+(0a ≠),()2g x x =.(1)若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线.①求实数a 的值;②若方程()f x mx =在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解,求实数m 的取值范围.(2)当01a <<时,求证:对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数1x ,2x ,都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立.【思路引导】(1)①首先求函数()f x 的图象在1x =处的切线,()1'1f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,()'12f a =,又因为切点为()1,a ,所以切线方程为2y ax a =-,于是问题转化为直线2y ax a =-与函数()g x 图象相切,于是可以根据直线与抛物线相切进行解题;②问题转化为方程ln x x mx +=在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解,参变量分离得ln 1x m x =+,设()ln 1x t x x =+,1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,研究()t x 的单调性、极值,转化为直线y m =与()y t x =有且只有一个交点,(2)当01a <<时,()f x 在[]1,2上单调递增,()2g x x =在[]1,2上单调递增,设1212x x ≤<≤,则()()12f x f x <,()()12g x g x <,于是问题转化为()()()()2211f x g x f x g x -<-,构造函数()()()F x f x g x =-,通过函数()F x 在[]1,2上单调递减,可以求出a的取值范围.∵()21ln 'x t x x -=,∴1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭,()'0t x >,函数单调递增,(),e +∞,()'0t x <,函数单调递减,∵11t e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()11t e e=+,且(),x e ∈+∞时,()1t x >,∴[]11,11m e e ⎧⎫∈-⋃+⎨⎬⎩⎭;证明:(2)不妨设1212x x ≤<≤,则()()12f x f x <,()()12g x g x <,∴()()()()1212f x f x g x g x -<-可化为()()()()2121f x f x g x g x -<-∴()()()()2211f x g x f x g x -<-设()()()F x f x g x =-,即()()2ln F x a x x x =+-,∴()F x 在[]1,2上单调递减,∴()22'02ax a x F x +-=≤恒成立,即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立,∵22221111124x x x =-≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭,∴1a ≤,从而,当01a <<时,命题成立.4.已知函数()()ln , 2.718f x x x e == .(1)设()()()2216g x f x x e x =+-++,①记()g x 的导函数为()g x ',求()g e ';②若方程()0g x a -=有两个不同实根,求实数a 的取值范围;(2)若在[]1,e 上存在一点0x 使()()20011m f x x ->+成立,求实数m 的取值范围.【思路引导】(1)①对()g x 进行求导,将e 代入可得()g e '的值;②对()g x 进行二次求导,判断()g x '的单调性得其符号,从而可得()g x 的单调性,结合图象的大致形状可得a 的取值范围;(2)将题意转化为00001ln 0mx m x x x +-+<,令()1ln m h x x m x x x =+-+,题意等价于()h x 在[]1,e 上的最小值小于0,对()h x进行求导,对导函数进行分类讨论,判断单调性得其最值.(2)由题可得()2000ln 11m x x x ->+,∴000011ln m x x x x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭,∴00001ln 0mx m x x x +-+<,令()1ln mh x x m x x x=+-+,则()h x 在[]1,e 上的最小值小于0,又()()()()211x x m h x x='+-+,1,当1m e +≥时,即1m e ≥-,()h x 在[]1,e 上递减,所以()0h e <,解得211e m e +>-;2,当11m +≤即0m ≤,()h x 在[]1,e 递增,∴()10h <解得2m <-;3,当11m e <+<,即01m e <<-,此时要求()10h m +<又()0ln 11m <+<,所以()0ln 1m m m <+<,所以()()12ln 12h m m m m +=+-+>此时()10h m +<不成立,综上2m <-或211e m e +>-.学*科网点睛:本题考查导数的运用:求考查函数与方程的联系单调区间最值,同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题,正确求导是解题的关键.在正确求导的基础上,利用导数与0的关系得到函数的单调区间,也是在高考中的必考内容也是基础内容;注意存在性问题与恒成立问题的区别.5.已知函数()()233x f x x x e =-+⋅.(1)试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,(2)t t ->-上为单调函数;(2)若t 为自然数,则当t 取哪些值时,方程()()0f x z x R -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根,并求出相应的实数z 的取值范围.【思路引导】(1)先求函数导数,根据导函数零点确定函数单调区间,再根据[]2,t -为某个单调区间的子集得t 的取值范围,(2)结合三次函数图像确定t 的取值范围:当2t ≥,且t N ∈时,方程()0f x z -=在[]2,t -上有可能有三个不等实根,再根据端点值大小确定实数z 的满足的条件:()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-,最后解不等式可得实数z 的取值范围.只需满足()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-即可.因为()()()()22132,03,1,2f f f e f e e-====,且()()()2230f t f e f ≥=>=,因而()()()()()2102f f f f f t -<<<≤,所以()()10f z f <<,即3e z <<,学*科网综上所述,当2t ≥,且t N ∈时,满足题意,此时实数z 的取值范围是(),3e .6.已知函数()()21ln ,f x x ax g x x b x =+=++,且直线12y =-是函数()f x 的一条切线.(1)求a 的值;(2)对任意的11,x e ⎡⎤∈⎣⎦,都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =,求b 的取值范围;(3)已知方程()f x cx =有两个根1212,()x x x x <,若()1220g x x c ++=,求证:0b <.【思路引导】(1)对函数()f x 求导,()2112'2ax f x ax x x+=+=,设直线12y =-与函数()f x 相切与点()20000,ln (0)x x ax x +>,根据导数的几何意义可得,200200210{12ax x lnx ax +=+=-,解得01{12x a ==-,求出12a =-;(2)对任意的1[1,x ∈]e ,都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =,只需要()1f x 的值域是()2g x 值域的子集,利用导数的方法分别求()1f x 、()2g x 的值域,即可求出b 的取值范围;(3)根据题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得,212121ln ln 2x x x x c x x -+=--,所以()()1211221121122212ln ln 2ln 1x x x x x b x x x x x x x x x ---=--=++,令12xt x =,则()0,1t ∈,则()2112ln 1t b x x t t --=-+,令()()12ln ,0,11th t t t t-=-∈+,对()h t 求导,判断()h t 的单调,证明0b <.(2)由(1)得()21ln 2f x x x =-,所以()211'x f x x x x -=-=,当(1x ∈,时,()0f x <,所以()f x在⎡⎣上单调递减,所以当(1x ∈,时,()min f x f=122e=-,()()()222min1111,'12x f x f g x x x -+==-=-+=,当[]1,4x ∈时,()'0g x >,所以()g x 在[]1,4上单调递增,所以当[]1,4x ∈时,()()()()min max 1712,44g x g b g x g b ==+==+,依题意得11,222e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦172,4b b ⎡⎤⊆++⎢⎥⎣⎦,所以1222{17142eb b +≤-+≥-,解得193422e b -≤≤--.(3)依题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得()()()222121211ln ln 2x x x x c x x ---=-,所以212121ln ln 2x x x x c x x -+=--,方程()1220g x x c ++=可转化为7.已知函数(为自然对数的底数,),,.(1)若,,求在上的最大值的表达式;(2)若时,方程在上恰有两个相异实根,求实根的取值范围;(3)若,,求使的图象恒在图象上方的最大正整数.【思路引导】(1)先求函数导数,根据定义域以及取值分类讨论导函数是否变号,确定函数单调性,进而确定函数最值,(2)作差函数,求导得原函数先减后增,因此要有两个相异实根,需极小值小于零,两个端点值大于零,解不等式可得的取值范围;(3)实际为一个不等式恒成立问题,先转化为对应函数最值问题(利用导数求差函数最小值),再研究最小值恒大于零问题,继续求导研究函数单调性,并结合零点存在定理限制或估计极点范围,最后范围确定最大正整数.试题解析:(1)时,,;①当时,,在上为增函数,此时,②当时,,在上为增函数,故在上为增函数,此时③当时,,在上为增函数,在上为减函数,若,即时,故在上为增函数,在上为减函数,此时若,即时,在上为增函数,则此时,综上所述:(2),,∴在上单调递减,在上单调递增,∴在上恰有两个相异实根,,实数的取值范围是,8.设函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数的值;(3)若方程,有两个不相等的实数根,比较与0的大小.【思路引导】(1)先求函数导数,再求导函数零点,根据定义域舍去,对进行讨论,时,,单调增区间为.时,有增有减;(2)函数有两个零点,所以函数必不单调,且最小值小于零,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,(3)根据,所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小,设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小.(3)证明:因为是方程的两个不等实根,由(1)知.不妨设,则,.两式相减得,即.所以.因为,点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.精品公众号:学起而飞。