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专题7.3 临界知识问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)

【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=()()()()()()()(),{,C A C B C A C BC B C A C A C B-≥-<若A={1,2},B={x|(x2+ax)·(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)等于() A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B1.【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合,若对于,,使得成立,则称集合是“互垂点集”.给出下列四个集合:;;;.其中是“互垂点集”集合的为( )A.B.C.D.设点是曲线上的两点,对于集合,当时,,不成立所以集合不是“互垂点集”.对于集合,,当时,,不成立所以集合不是“互垂点集”.对于集合,当时,,不成立,所以集合不是“互垂点集”.排除A,B,C.故选:D2.【陕西省2019届高三第二次检测】已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①②③④其中是“垂直对点集”的序号是________.对于①,,即,与的值域均为,故①正确;对于②,若满足,则,在实数范围内无解,故②不正确;对于③,画出的图象,如图,直角始终存在,即对于任意,存在,使得成立,故③正确;对于④,,取点,曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”, 故④不正确,故答案为①③.类型二高等数学背景型临界问题【例2】设S是实数集R的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+b3|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集.其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)【答案】①②【举一反三】【湖南省衡阳市2019届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域,则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数,,中,与函数不.是.亲密函数的个数为( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】B 易知幂函数定义域为,偶函数,在上,,在上,,.四个选项中函数的定义域都为且都为偶函数,单调性也与保持一致,因为显然在上递增,又,,递增,当,除(显然)外,其他函数的值都趋向于.故选B.【例3】点P 为棱长是3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点,点P 满足1BP AC ⊥,则动点P 的轨迹的长度为__________. 【答案】6π【举一反三】已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于B 、C 两点),点N 为线段1CC 的中点,若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形,则线段BM 的取值范围为( )A . 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B . 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C . 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D . 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】依题意,当点M 为线段BC 的中点时,由题意可知,截面为四边形1AMND ,从而当102BM <≤时,截面为四边形,当12BM >时,该截面与正方体的上底面也相交,所以截面为五边形,故线段BM 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦,故选B .【强化训练】 一、选择题1.已知集合2,3,,集合是集合A 的子集,若且2,,,满足集合B 的个数记为,则A .9B .10C .11D .12【答案】B 由题意可得,,,那么集合2,3,4,5,6,;集合,,满足集合B 的个数列罗列出来,可得:3,,3,,3,,4,,4,;5,,4,,4,,5,,5,,故选:B .2.【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数.例如:,,已知函数,则函数的值域为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】,又>0,∴,∴∴当x∈(1,2)时,y=[f(x)]=1;当x∈[2,)时,y=[f(x)]=2.∴函数y=[f(x)]的值域是{1,2}.故选D.3.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考】定义集合运算:A⊙B={,x∈A,y∈B},设集合A={,0,1},B={},则集合A⊙B的所有元素之和为()A.1 B.0 C.D.【答案】B【解析】解因为,所以的可能取值为-1,0,1同理,的可能取值为所以的所有可能取值为(重复的只列举一次):所以所有元素之和为0,故选B4.【广西壮族自治区柳州市2019届高三3月模拟】定义:,如,则()A.0 B.C.D.1【答案】C由题意得.5.【北京市门头沟区2019年3月高三综合练习】若函数图象上存在两个点A,B关于原点对称,则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数其中e为自然对数的底数,恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为A.B.C.D.【答案】C解:当时,关于原点对称的函数为,即,,设,,条件等价为当时,与的图象恰好有两个不同的交点,,,当时,函数取得最大值,当时,,.由得,此时为增函数,由得,此时为减函数,即当时,函数取得极小值同时也是最小值,作出当时,与的图象如图:要使两个图象恰好有两个不同的交点,则,即,即,即,故选:C.6.【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义:若数列对任意的正整数,都有为常数,则称为“绝对和数列”,叫做“绝对公和” .已知“绝对和数列”中,,绝对公和为3,则其前2019项的和的最小值为()A.B.C.D.解:依题意,要使其前2019项的和的最小值只需每一项的值都取最小值即可,∵=2,绝对公和d =3,∴=﹣1或=1(舍),∴=﹣2或=2(舍),∴=﹣1或=1(舍),…∴满足条件的数列{}的通项公式,∴所求值为+(+)+(+)+…+(+)=2+(﹣1﹣2)=﹣3025,故选:C.7.【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设,,,,表示数列的前项之和,则使不等式成立的最小正整数的值是()A.B.C.D.【答案】B∵∴,∴,而∴,,即,当n=8时,左边=,右边=,显然不适合;当n=9时,左边=,右边=,显然适合,故最小正整数的值9故选:B二、填空题8.【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图,已知正四棱柱和半径为的半球O,底面ABCD在半球O底面所在平面上,,,,四点均在球面上,则该正四棱柱的体积的最大值为______.【答案】4设正四棱柱的高为h,底面棱长为a,则正四棱柱的底面外接圆直径为,所以,.由勾股定理得,即,得,其中,所以,正四棱柱的体积为,其中,构造函数,其中,则,令,得.当时,;当时,.所以,函数在处取得极大值,亦即最大值,则.因此,该正四棱柱的体积的最大值为4.9.【上海市交大附中2019届高三上9月开学】由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机,所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,可能成立的是____.①没有最大元素,有一个最小元素;②没有最大元素,也没有最小元素;③有一个最大元素,有一个最小元素;④有一个最大元素,没有最小元素.【答案】①②④【解析】若M={x∈Q|x<0},N={x∈Q|x≥0},则M没有最大元素,N有一个最小元素0,故①可能成立;若M={x∈Q|x},N={x∈Q|x};则M没有最大元素,N也没有最小元素,故②可能成立;若M={x∈Q|x≤0},N={x∈Q|x>0};M有一个最大元素,N没有最小元素,故④可能成立;M有一个最大元素,N有一个最小元素不可能,因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中,与M 和N的并集是所有的有理数矛盾,故③不可能成立.故答案为:①②④10.【江西省红色七校2019届高三第二次联考】已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且在上是减函数,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】根据对称函数的概念可知,即,令,则,其对称轴为,开口向下.由于在上递减,在上递增,根据复合函数单调性可知.11.【河南省郑州第一中学2019届高三第二次测评】已知二进制和十进制可以相互转化,例如,则十进制数89转化为二进制数为.将对应的二进制数中0的个数,记为(例如:,,,则,,),记,则__________.【答案】由题意得共个数中所有的数转换为二进制后,总位数都为2019,且最高位都为1而除最高位之外的剩余2018位中,每一位都是0或者1设其中的数x,转换为二进制后有k个0()∴在这个数中,转换为二进制后有k个0的数共有个∴由二项式定理,.故答案为:.12.【上海市七宝中学2019届高三下学期开学】设整数,集合2,,,A,B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对的个数为:______.【答案】解:设中的最大数为,其中,整数,则中必含元素,另元素可在中,故的个数为:,中必不含元素另元素可在中,但不能都不在中,故的个数为:,从而集合对的个数为.故答案为:.13.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数,其中表示不小于x的最小整数,如,,当时,函数的值域为,记集合中元素的个数为,则=____.【答案】易知:当n=1时,因为x∈(0,1],所以{x}=1,所以{x{x}}=1,所以.当n=2时,因为x∈(1,2],所以{x}=2,所以{x{x}}∈(2,4],所以.当n=3时,因为x∈(2,3],所以{x}=3,所以{x{x}}={3x}∈(6,9],;当n=4时,因为x∈(3,4],所以{x}=4,所以{x{x}}={4x}∈(12,16],所以;当n=5时,因为x∈(4,5],所以{x}=5,所以{x{x}}={5x}∈(20,25],所以.由此类推:.故.14.【上海市南洋模范中学2019届高三3月月考】任意实数,,定义,设函数,数列是公比大于0的等比数列,且,,则____.【答案】4【解析】由题,∵数列{a n}是公比大于0的等比数列,且,①1<q时,,,…,∈(0,1),,,∈(1,+∞),1.∴,分别为:,,…,,1,q,…,q4.∵∴0++…+=∴q4q q 2.∴2.左边小于0,右边大于0,不成立,舍去.②0<q<1时,1,∴,分别为:,,…,,1,q,…,q4,,,…,∈(1,+∞),,,∈(0,1),∵∴log2q2.∴2.∴4,∴a 1=4.③q=1时,=…==…==1,不满足舍去.综上可得:=4.故答案为:4.15.【北京延庆区2019届高三一模】已知集合,集合满足①每个集合都恰有7个元素; ②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数,记为(),则的最大值与最小值的和为_______.【答案】132由题意得,集合中各包含7个元素,且互不相等,当取得最小值时,集合中的最小值分别为1,2,3,最大值分别为21,15,9,例如,,,此时最小,且为51. 当集合中最小值为1,7,13,最大值为19,20,21时,最大.例如,,,此时最大,且为81.故最大值与最小值之和为132.16.【江西省南昌市2019届高三一模】定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是__________.【答案】【解析】设三个半圆圆心分别为G,F,E,半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点,则PM≤+GF= +=,当且仅当M,G,F,P共线时取等;同理:PN ≤MN≤,又外接圆半径为1,,所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等;故故答案为17.【陕西省2019届高三第二次检测】在实数集中定义一种运算“”,具有性质:(1)对任意;(2)对任意;(3)对任意.则函数的最小值为________.【答案】因为在(3)中,对任意,令,代入得由(1)中可得由(2)中,化简可得所以因为由基本不等式可得所以最小值为318.【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】定义:对于数列,如果存在常数,使对任意正整数,总有成立,那么我们称数列为“﹣摆动数列”.①若,,,则数列_____“﹣摆动数列”,_____“﹣摆动数列”(回答是或不是);②已知“﹣摆动数列”满足,.则常数的值为_____.【答案】不是是【解析】①由知道是递增数列,故不存在满足定义的又因为可知正负数值交替出现,故时满足定义②因为数列是“﹣摆动数列”,故时有可求得:又因为使对任意正整数,总有成立,即有成立则所以,,…,同理,,…,所以,即,解得,即同理,解得,即综上,本题正确结果:不是;是;。

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