[学业水平训练]
1．若函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数f (x ＋1)的定义域是( ) A ．[－2,0] B ．[－1,1] C ．[1,2] D ．[0,2] 解析：选A.∵f (x )的定义域是[－1,1]，∴－1≤x ＋1≤1⇒－2≤x ≤0，故选A. 2．下列对应或关系中是A 到B 的函数的是( ) A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1
B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：
C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝
1x －2
D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1
解析：选B.对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合．对于B 项，符合函数的定义．对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．
3．与函数y ＝x 相等的函数是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝3
x 3
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 2
x
解析：选B.A 中，函数定义域为[0，＋∞)． C 中，y ＝|x |与y ＝x 的解析式不同． D 中，函数的定义域为{x ∈R |x ≠0}．
4．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( )
A ．R
B ．{x |x >0}
C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
52<x <5 解析：选D.由题意可知0<y <10，即0<10－2x <10，解得0<x <5，又底边长y 与腰长x
应满足2x >y ，即2x >10－2x ，x >5
2
.
综上可知5
2
<x <5.
5．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3} D ．{y |0≤y ≤3}
解析：选A.∵函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，
∴自变量x 取0,1,2,3四个实数，将x 的值依次代入函数解析式，得因变量的值依次为0，－1,0,3，
故其值域为{－1,0,3}．
6．下表表示
解析：∵5＜6≤10，
∴当x ＝6时，对应的函数值是3. 答案：3
7．已知函数f (x )＝1
1＋x
，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝________，g (f (2))＝________.
解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17，f (2)＝11＋2＝1
3，g (f (2))＝g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫132＋2＝199
. 答案：17 199
8．求下列函数的定义域：
(1)y ＝(x ＋1)2
x ＋1－1－x ；
(2)y ＝(x ＋1)0
|x |－x ；
(3)y ＝1
1＋
1x
.
解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≠0
1－x ≥0
，即⎩⎨⎧
x ≠－1x ≤1，所以函
数的定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．
(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≠0
|x |－x ≠0
，即⎩⎨⎧
x ≠－1|x |≠x ，
∴x <0且x ≠－1，
∴函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．
(3)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ≠01＋1x
≠0，即⎩⎨⎧
x ≠0
x ＋1≠0，
即x ≠0且x ≠－1，
∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0且x ≠－1}． 9．求下列函数的值域．
(1)y ＝x 2－4x ＋32x 2－x －1；
(2)y ＝2x －x －1.
解：(1)∵y ＝x 2－4x ＋32x 2－x －1＝(x －1)(x －3)(x －1)(2x ＋1)＝x －32x ＋1
(x ≠1且x ≠－1
2)，
又∵x －32x ＋1＝12(2x ＋1)－722x ＋1
＝12－7
2(2x ＋1)，
∵72(2x ＋1)
≠0，∴y ≠12.
当x ＝1时，x －32x ＋1＝1－32×1＋1＝－2
3.
∴函数的值域为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫yy ∈R ，且y ≠12，且y ≠－23.
(2)令
x －1＝t ，则t ≥0，x ＝t 2＋1.
∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158
. ∵t ≥0，∴y ≥15
8
.
∴函数y ＝2x －x －1的值域是⎣⎡⎭⎫15
8，＋∞. 10．已知a ，b ∈N ＋，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，求f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 014)f (2 013)＋f (2 015)
f (2 014)
.
解：由f (a ＋b )＝f (a )f (b )知，令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)f (1)＝4，∴f (2)
f (1)
＝2.
令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)f (1)＝8，∴f (3)
f (2)
＝2.
由此猜测f (x )
f (x －1)＝2(x ≥2，x ∈N ＋)，下面证明此结论．
令a ＝x －1，b ＝1，则f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)， ∴f (x )f (x －1)
＝2(x ≥2，x ∈N ＋)， ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 014)f (2 013)＋f (2 015)f (2 014) ＝2＋2＋…＋22 014个＝4 028.
[高考水平训练]
1．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3
的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎦⎤0，34
B.⎝⎛⎭⎫0，34
C.⎣⎡⎦⎤0，34
D.⎣⎡⎭⎫0，34 解析：选D.由题意知mx 2＋4mx ＋3≠0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，符合题意；
当m ≠0时，Δ＝(4m )2－12m ＜0，
即0＜m ＜3
4
.
综上m 的取值范围是[0，3
4
)．
2．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 解析：因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10.
答案：10
3．求y ＝2x 2＋4x －7
x 2＋2x ＋3的值域．
解：已知函数式可变形为： yx 2＋2yx ＋3y ＝2x 2＋4x －7， 即(y －2)x 2＋2(y －2)x ＋3y ＋7＝0，
当y ≠2时，将上式视为关于x 的一元二次方程． ∵x ∈R ，∴Δ≥0.
即[2(y －2)]2－4(y －2)(3y ＋7)≥0.
解得－9
2≤y ＜2.
当y ＝2时，3×2＋7≠0. ∴y ≠2，∴函数的值域为⎣⎡⎭
⎫－9
2，2. 4．已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N ＋，k ∈N ＋，x ∈A ，y ∈B ，f ：
x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B .
解：根据对应法则f ，有： 1→4；2→7；3→10；k →3k ＋1.
若a 4＝10，则a ∉N ＋，不符合题意，舍去； 若a 2＋3a ＝10，
则a ＝2(a ＝－5不符合题意，舍去)． 故3k ＋1＝a 4＝16，得k ＝5.
综上：a ＝2，k ＝5，集合A ＝{1,2,3,5}，B ＝{4,7,10,16}．。