江西省吉安市白鹭洲中学2019-2020学年高考数学全真模拟密押卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%2．下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（ ） A ．7(,0)24π B ．(,0)3π C ．1(,)34π- D ．(,0)12π3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.若某“阳马”的三视图如图所示网格纸上小正方形的边长为1，则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．524．已知数列｛n a ｝满足112,5n n a a a +-==-，则126||||...||a a a +++＝（ ） A ．9B ．15C ．18D ．305．已知函数是奇函数，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量3)a v=，13(,22b =-r，则a b +r r 在b r 上的投影为（ ）A ．2B．3 C ．1D ．-17．已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦 值为33，若A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为（ ） A ．2π B ．823πC ．2πD ．23π8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期为πB ．函数()y f x π=-为偶函数C ．函数()f x 在[,]4ππ--上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称10．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的等于( )．A ．20B ．21C ．22D ．2311．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向左平移个单位12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，(2sin 3)3a B C A =，点D 是边BC 的中点，且13AD =ABC ∆的面积为（ ） A 3 B ．3C 3或3D ．33或3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知02x π<<，且1sin cos 5x x -=，则24sin cos cos x x x -的值为________．14．3个男生和3个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共有__________种（用数字作答）．15．公差d 为正整数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2468384a a a a =且2462482684681111596a a a a a a a a a a a a +++=，则数列1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2017项和为________________.16．设1,2OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB u u u r u u u r ⋅=，OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，且1λμ+=，则OA u u u r 在OP uuu r 上的投影的取值范围是 .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且2a 3S =．若C=60°且b=1，求a 边的值；当c23b =+A 的大小．18．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且.求角；若，的面积为，为的中点，求的值.19．（12分）设函数()2ln 21f x x x ax =+++．()1当32a =-时，求()f x 的极值；()2若()f x 的定义域为()2,a ++∞，判断()f x 是否存在极值.若存在，试求a 的取值范围；否则，请说明理由．20．（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望.21．（12分）在全社会推行素质教育的大前提下，更强调了学生的全面发展，只有全面重视体育锻炼，才能使学生德智体美全面发展。

为了解某高校大学生的体育锻炼情况，做了如下调查统计。

该校共有学生10000人，其中男生6000人，女生4000人。

为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.应收集多少位女生的样本数据？根据这200个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图，其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.在样本数据中，有50位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.女生 男生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 每周平均体育运动时间超过4小时 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20()P K k ≥0.100.050.0100.0050k2.7063.841 6.635 7.87922．（10分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ABCD ⊥底面，//AD BC ，90BAD ∠=︒，且AC BD ⊥.求证：111//B C ADD A 平面；求证：1AC B D⊥；若12AD AA =，判断直线1B D与平面1ACD 是否垂直？并说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 2、A 3、D 4、C 5、B 6、A 7、D 8、C9、C 10、C 11、A 12、D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、392514、28815、2017100916、(三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）3；（2）A=π3【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得sin a C =，又由60C =︒且1b =，即可求解； （2）由余弦定理及2a =，化简可得sin()16A π+=，即可求解A 的大小，得到答案． 【详解】（1）由题意知2a =，可得21sinC 2b a a =⋅，∴sin a C =，又因为60C =︒且1b =，∴3a ==； （2）当2cb=时，2b c ==∵2222cos b c A a bc ==+-，∴221sin 2cos 2bc A b c bc A ⋅=+-，即)222cos bc A A b c +=+，∴22πb c b c 4sin A 46bc c b +⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭，得sin()16A π+=， ∵(0,)A π∈，∴7(,)666A πππ+∈，所以62A ππ+=，得3A π=． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18、（1）（2）【解析】试题分析：⑴由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，又因为，求出，结合的范围可求的值⑵利用三角形内角和定理可求，利用三角形面积公式求，在中，利用余弦定理可求，在中，利用正弦定理可求解析：（1）由，得，由正弦定理可得，，因为，所以，因为，所以.（2）因为，故为等腰三角形，且顶角，故，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，在中，由正弦定理可得，， 即，所以.19、（1）见解析；（2）22a -<<-【解析】 【分析】()1求函数()f x 的定义域，计算32a =-时()f x 的导数，利用导数判断()f x 的单调性，求()f x 的极值；()2求()f x 的导数，利用()'0f x =得22210x ax ++=；设()2221g x x ax =++，根据函数()f x 的定义域讨论()g x 的实数根的情况，从而求得()f x 有极值时a 的取值范围． 【详解】解：()1函数()2ln 21f x x x ax =+++，则函数的定义域为()0,+∞；当32a =-时，函数()2ln 31f x x x x =+-+，其中0x >； 则()1'23f x x x=+-，令()'0f x =，得1230x x +-=，解得1x =或12x =；则102x <<或1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增； 112x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减； 所以函数()f x 在1x =处取得极小值为1-，在12x =处取得极大值为11ln 24-； ()()212212'22(0)x ax f x x a x x x++=++=>， 令()'0x =，即22210x ax ++=； 令()2221g x x ax =++，则对称轴为2ax =-， 20a Q +≥，2a ∴≥-；①当22a a -≤+，即43a ≥-时，()()()2222222141290g a a a a a a +=++++=++≥恒成立，()f x ∴在()2,a ++∞上无极值点；②当22a a ->+，即423a -≤<-时，；当时，恒成立，无极值；当时，有或，时，存在，使得，存在，使得；，；当时，，当时，，当时，，当时，，时有极值；综上所述，a 的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值的问题，考查分类讨论思想，属于中档题． 20、（1）3360元；（2）见解析 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．【详解】（1）记每个农户的平均损失为元，则10000.330000.4x=⨯+⨯+50000.1870000.0690000.063360⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为；X 0 1 2P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．21、（1）应该收集80位女生的样本数据；（2）估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75；（3）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该校学生的每周体育运动的平均时间与性别有关”.【解析】【分析】（1）由题意，根据女生所占的比例，列出40002008010000⨯=，即可求解；（2）根据频率方程直方图中概率的计算，即可求解200位学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率；（3）列出22⨯的列联表，利用公式求得2k的值，根据附表，即可判定.【详解】（1）由题题，得40002008010000⨯=，所以应该收集80位女生的样本数据，（2）根据频率分布直方图，得200位学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率为：0.15020.12520.07520.02520.75⨯+⨯+⨯+⨯=.因此可估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75. （3）列出22⨯的列联表，如下：()2220030*********.111 6.6355015080120k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯求得.所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该校学生的每周体育运动的平均时间与性别有关”． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及独立性检验的应用，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图中概率的计算方法，以及独立性检验的计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22、 (Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面BCC 1B 1∥平面ADD 1A 1,据此结合面面平行的性质即可证得题中的结论；(Ⅱ)由题意可证得AC ⊥平面BB 1D,据此证明题中的结论即可；(Ⅲ)结论：直线B 1D 与平面ACD 1不垂直,利用反证法，假设B 1D ⊥平面ACD 1，结合题意得到矛盾的结论即可说明直线B 1D 与平面ACD 1不垂直. 【详解】证明：(Ⅰ)∵AD ∥BC,BC ⊄平面ADD 1A 1,AD ⊂平面ADD 1A 1， ∴BC ∥平面ADD 1A 1,∵CC 1∥DD 1,CC 1⊄平面ADD 1A 1,DD 1⊂平面ADD 1A 1, ∴CC 1∥平面ADD 1A 1， 又∵BC∩CC 1=C ，∴平面BCC 1B 1∥平面ADD 1A 1, 又∵B 1C ⊂平面BCC 1B 1， ∴B 1C ∥平面ADD 1A 1.(Ⅱ)∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，∴BB 1⊥AC,又∵AC ⊥BD,BB 1∩BD=B ， ∴AC ⊥平面BB 1D, 又∵B 1D ⊂底面BB 1D ， ∴AC ⊥B 1D;(Ⅲ)结论：直线B 1D 与平面ACD 1不垂直, 证明：假设B 1D ⊥平面ACD 1， 由AD 1⊂平面ACD 1,可得B 1D ⊥AD 1,由棱柱1111ABCD A B C D -中,BB 1⊥底面ABCD,∠BAD=90°， 可得：A 1B 1⊥AA 1,A 1B 1⊥A 1D 1， 又∵AA 1∩A 1D 1=A 1， ∴A 1B 1⊥平面AA 1D 1D ， ∴A 1B 1⊥AD 1, 又∵A 1B 1∩B 1D=B 1， ∴AD 1⊥平面A 1B 1D ， ∴AD 1⊥A 1D,这与四边形AA 1D 1D 为矩形,且AD=2AA 1矛盾,故直线B 1D 与平面ACD 1不垂直. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，线线垂直的证明方法，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2019-2020高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。