(1)方程-x2+3x+4=0的解
y
是_x_=-1,x=_4__
4
(2)不等式-x2+3x+4>0的解集 3
2
是__-1<x<4 __
1
-2
(3)不等式-x2+3x+4<0的解集
-1
o -1
-2
1
2 34
5
x
是_ X<-1或x>4__
-3 -4
-5
⊿=b2-4ac
y=ax2+bx+c （a>0）图像
ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
⊿>0
y
⊿＝0
y
⊿＜ y0
X0
1
X2 x
O X1= X2 x O
x x
x1 ＝ x2
x1 =x2
没有实数根
＝－b/2a
ax2+bx+c>0 （a>0）解集
x<x1或x>x2
x≠ x1的一切 实数
所有实数
ax2+bx+c<0 （a>0）解集
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: y
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横 坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根
动手操作：画出Y＝X2－2X－3的图象
y y＝x2－2x－3
x
探究一：你的图象与X轴的交点坐标是什么？
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为
（－1，0） （3，0）
方程x2－2x－3 ＝0的两根是
x1＝ －1 ,
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
OXຫໍສະໝຸດ 结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有两个交点
2、 b2-4ac =0
有两个相等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点
3、 b2-4ac ＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴没有公共点
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝－2x2＋3x－9； （2）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）
解：（1）∵ b2－4ac ＝02 －4×1×（ －1） ＞0
∴函数与x轴有两个交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝－2x2＋3x－9； （2）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0） 解：（2） ∵ b2－4ac＝（a＋b）2 －4（－a )（－b）
＝(a－b)2 ≥0
例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点 吗？有几个？
分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方 程组，消去y后，再利用判别式判断即可.
练习 二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b有一个公共点，
求出b的值. 解：由题意，得
y＝x2－x－3 消元，得 x2－x－3 ＝x＋b 整理，得x2－2xy－＝（x＋3 b＋ b） ＝0 ∵有唯一交点 ∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b） ＝0 解之得，b ＝－4
<1>①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
-1
0
2
X
y= -x2+x+2
y
<2>①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0. <3>①-x2+x-2=0;
y
O2
x
②-x2+x-2>0;
0
X
③-x2+x-2<0.
拓展提升：
• 1、函数y=ax2+bx+c的图像如图， 那么
•二次函数与方程、不等 式
温故知新
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为
（一－元一2 次，0方程）x＋2＝0的根为__－__2____
（2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为
（一元2一次，方0 程）－3x＋6＝0的根为__2______
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx ＋b＝0的根有什么关系？
x2 ＝ 3
函数图象与x轴交点坐标和方程的两根有什么关系 你发现了什么？
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标 就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方 程
例题精讲
1. 求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标
解：令y＝0，则x2＋4x－5 ＝0 解之得， x1＝ －5 ,x2 ＝ 1 ∴交点坐标为：（－5，0）（1，0） 结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（X1，0 ）， B（X2，0 ）
1）方程ax2+bx+c=2的根是 _X_1_=_-2_;_X__2=_4_;
2）不等式ax2+bx+c>2的解集是
_X_<_-2_;_X_>_4__;
y
3）不等式ax2+bx+c<2的解集是
__-_2<_X__<_4__;
(-2,2)
2
-1 O
(4,2)
3
x
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那 么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？
∴函数与x轴有一个或两个交点
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
x y＝x2－2x－3
例题精讲
3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；