~第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案)【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式） 一、不等式1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子.2..不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：性质1 对称性：a b b a >⇔<；】性质2 传递性：,a b b c a c >>⇒>；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：()a b a c b c c R >⇔+>+∈； 性质4 乘法法则：若a b >，则000c ac bc c ac bc c ac bc ，，.>⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩补充：除法法则：若a b >且0c =，则00a bc c ca b c c c⎧>⇒>⎪⎪⎨⎪<⇒<⎪⎩.， 性质5 可加法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+； 性质6 可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>； 性质7 可乘方性：()*00n n a b n a b N >>∈⇒>>；可开方性：()01a b n n N 且+>>∈>⇒！要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法：1. 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0a b a b ->⇔>； ②0a b a b -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=. 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1a a b b >⇔>； ②1a a b b <⇔<； ③1aa bb =⇔=. &要点诠释：若代数式a 、b 都为负数，也可以用作商法. 中间量法：若两个代数式a 、b 不容易直接判断大小，可引入第三个量c 分别与a 、b 作比较，若满足a b >且b c >，则a c >. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：24b ac ∆=-0∆>&0∆=0∆<函数()y f x = 的图象方程()=0f x？的解有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根 122bx x a ==-无实根不等式()0f x >的解集 [{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R不等式()0f x <的解集{}12x xx x <<∅ ∅}要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 四、解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：%①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根122bx x a==-； ③0∆<时，方程无解（3）根据不等式，写出解集. 五、基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.~2.由公式222a b ab +≥和2a b+≥①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）；③20,0)112a b a b a b+≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；>② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.2．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值./【典型例题】类型一 不等式性质/例1．对于实数a b c ，，判断以下说法的对错.（1）若a b >，则ac bc <； （2）若22ac bc >，则a b >； （3）若0a b <<， 则22a ab b >>； （4）若0a b <<， 则a b >； （5）若a b >，1a >1b， 则00a b ，><． 举一反三：【变式1】如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．B ．a+c ＜b+cC ．a ﹣c ＞b ﹣cD ．a •c ＜b •c 例2、比较下列两代数式的大小：。

（1）(5)(9)x x ++与2(7)x +；举一反三：【变式1】比较22x x +与2x +的大小|【变式2】已知0a b >>，则2222a b a b -+ _________a ba b-+ （填,,><=） 类型二 解二次不等式例3. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+->]举一反三：【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 解不等式f (x )＞3.《【变式2】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3} 【变式3】下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)例4． 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集.、【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键. 举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________.\【变式2】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求x 的不等式210bx ax ++>的解集.【变式3】 若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . ）【变式4】 已知关于x 的不等式x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－1或x >2}，则b 2＋c 2＝( )A ．5B ．4C ．1D ．2例5.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

…举一反三：【变式1】不等式mx 2+1＞mx 的解集为实数集R ，求实数m 的取值范围．;【变式2】 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．(－∞，0] D ．(－∞，0]∪4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【变式3】如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．例6．解关于x的含参不等式（1）x2-(a+1)x+a<0；（2）x2-ax+1>0；（3）(ax-1)(x-2)≥0；?…举一反三：【变式1】若0＜t＜1，则不等式1()()0x t xt--<的解集为( )(A.1|x x tt⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B.1|x x x tt⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或C.1|x x x tt⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 D.1|x t xt⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【变式2】不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为( )A．(－∞，－2a)∪(3a，＋∞) B．(－2a,3a) C．(－∞，3a)∪(2a，＋∞) D．(3a，－2a)【变式3】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．！类型三 基本不等式例1. 若0x >,求9()4f x x x=+的最小值./举一反三：【变式1】已知x 、y 都是正数，yx +xy .最小值为_______ 【变式2】已知，则f （x ）在定义域上的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．】【变式3】当x ＞4时，不等式x +≥m 恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤8B ．m ＜8C ．m ≥8D ．m ＞8例2．已知x ＞﹣2，则x+的最小值为（ ）A ．﹣B ．﹣1C ．2D ．0举一反三：【变式1】已知3a >，求证:473a a +≥- 【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法..例3．已知x ＞0，y ＞0，x+y+=2，则x+y 的最小值是（ ）A ．B ．1C ．D ．举一反三：》【变式1】已知a ＞0，b ＞0，且满足ab ＝a +b +3，则a +b 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【变式2】若0x >,0y >,且281x y+=,求xy 的最小值 .!例4．“1”的代换 已知求a +b 的最小值：举一反三：【变式1】设a ＞0，b ＞0，若a+b=1，则的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．1D ．【变式2】已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则11x y+的最小值为________； 【变式3】若正数x ，y 满足，则3x+4y 的最小值是（ ）A ．24B ．28C ．25D ．26【巩固练习】-1．不等式ax 2+5x+c ＞0的解集为11{|}32x x <<，则a ，c 的值为（ ） A ．a=6，c=1 B ．a=－6，c=－1 C ．a=1，c=1 D ．a=－1，c=－6 2．不等式x 2－ax －b ＜0的解集是{x|2＜x ＜3}，则bx 2－ax －1＞0的解集是（ ）A ．{|23}x x <<B ．11{|}32x x << C ．11{|}23x x -<<- D ．{|32}x x -<<- 3. 如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有( ) A ．f (5)<f (2)<f (－1) B ．f (2)<f (5)<f (－1) C ．f (2)<f (－1)<f (5) D ．f (－1)<f (2)<f (5)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]{5．已知x ＞0，则x+﹣1的最小值是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．当x ＜﹣1时，f （x ）＝x +的最大值为 ．7. 不等式2x －53x －1＜1的解集是________8. 已知函数y ＝(m 2＋4m －5)x 2＋4(1－m )x ＋3对任意实数x ，函数值恒大于零，则实数m 的取值范围是__________．9．已知m ＞0，n ＞0，且m +n ＝4，则+的最小值是10．已知x ＞3，那么函数y ＝+x ﹣3的最小值是 ；11.解下列不等式 ￥(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－x 2＋8x －3＞0；、12. 已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ．(1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集．^13. 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．24. 解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.|15. 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．]16．设x，y∈R+，+＝3，求2x+y的最小值．—第二章不等式全章整理答案【典型例题】类型一不等式性质例1．对于实数a b c ，，判断以下说法的对错.（1）若a b >，则ac bc <；/（2）若22ac bc >，则a b >；（3）若0a b <<， 则22a ab b >>；（4）若0a b <<， 则a b >；（5）若a b >，1a >1b， 则00a b ，><． 【思路点拨】本类题一般利用不等式的性质判断或者采用作差法判断，还可以利用特殊值法找反例否定.【解析】（１）错误 因为c 的符号不定，所以无法判定ac 和bc 的大小. （２）正确 因为22ac bc >， 所以c ≠0， 从而2c >0，所以a b >.。