二次函数与方程及不等式的关系
6、如图,将二次函数y=x 2
-m(其中m >0)图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y 1,另有一次函数y=x+b 的图象记为y 2,则以下说法:(1)当m=1,且y 1与y 2恰好有三个交点时,b 有唯一值为1;
(2)当b=2,且y 1与y 2恰有两个交点时,m>4或<0m<7
4
;
(3)当m=b 时,y 1与y 2至少有2个交点,且其中一个(0，m); (4)当m=-b 时,y 1与y 2一定有交点. 其中正确说法的序号为
9. (2014·浙江杭州江干一模，16，4分)如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B (4，2)，一次函数y ＝kx －1的图象平分它的面积．若关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋k )x ＋2m ＋k 的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为________．
解析 过B 作BE ⊥AD 于E ，连结OB ，CE 交于点P ，∵P 为矩形OCBE 的对称中心，则过点P 的直线平分矩形OCBE 的面积．∵P 为OB 的中点，而B (4，2)，∴P 点坐标为(2，1)，∵P 点坐标为(2，1)，点P 在直线y ＝kx －1上，∴2k －1＝1，k ＝1.∵关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象与坐标轴只有两个交点，∴①当m ＝0时，y ＝－x ＋1，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当m ≠0时，函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象为抛物线，且与y 轴总有一个交点(0，2m ＋1)，若抛物线过原点时，2m ＋1＝0，即m ＝－12，此时，Δ＝(3m ＋1)2－4m (2m ＋1)＝(m ＋1)2>0，故抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意．若抛物线不过原点，且与x 轴只有一个交点，也符合题意，此时Δ＝(m ＋1)2＝0，m ＝－1.综上所述，m 的值为：m ＝0或－1或－12. 答案 m ＝0或－1或－1
2
1．(原创题)函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <3且k ≠0 C ．k ≤3且k ≠0
D ．k ≤3
18.已知二次函数2y x bx =+的对称轴为直线1x =,若关于x 的一元二次方程
20x bx t +-=(t 为实数)在14x -<<时有解,则t 的取值范围是 .
18.如图,点A 在y 轴上,过点A 作x 轴的平行线交抛物线2(0)y ax a =>于点 B 、C ,过点B 作x 轴的垂线,垂足为D ,连接CD ,分别交抛物线和y 轴于 E 、F ,则EF FC
的值为 .
8.已知a b c >>,且0a b c ++=,则抛物线2y ax bx c =++与直线y bx =-的交点 个数为 个.
12.如图,A 点的坐标为(-4,0),直线3y x n =+与坐标轴交于点B ,C ,连接AC ,若∠ACB =90°,
则n 的值为( ) A .2- B .423-
C .433
-
D .453
-
10．如图，抛物线y=x 2+1与双曲线y=
的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式+ x 2
+1<0
的解集是 ( ▲ )
A ．x>1
B ．x<－1
C ．0<x<1
D ．－1<x<0 【答案】D ．
17．如图，已知函数3y x
=- 与()2
00y ax bx a b =+>>，的图象交于点P ，点P 的纵坐１，则关于x 的方程23
0ax bx x
++=的解为
标为
_____________．
2．（2015·湖南省益阳市，第8题5
分）若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（ ）
A ． m ＞1
B ． m ＞0
C ． m ＞﹣1
D ． ﹣1＜m ＜0
考点：
二次函数的性质．
3．(2015•江苏苏州,第8题3分)若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（2015•广东梅州,第10题4分）对于二次函数y =﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x =1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为
x k x
k 1 y
x
P
O
（第17题）
第18题
x
y
O A B
C
D E F A
B
C O x
y 3y x n
=+第12题
（ ）
A ．
1
B ．
2
C ．
3
D ．
4
10. （2015•浙江宁波，第11题4分）二次函数的图象在2<<3这一段位于轴的下方，在6<<7这一段位于轴的上方，则的值为【 】
A . 1
B . －1
C . 2
D . －2
15．（2015•山东威海，第25题12分）已知：抛物线l 1：y =﹣x 2+bx +3交x 轴于点A ，B ，（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，其对称轴为x =1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E （5，0），交y 轴于点D （0，﹣）．
（1）求抛物线l 2的函数表达式；
（2）P 为直线x =1上一动点，连接PA ，PC ，当PA =PC 时，求点P 的坐标；
（3）M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．
)0(4)4(2≠--=a x a y x x x x a。