线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1.在111()111111x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ）(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 22.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且()r C r <，则 （ ）(A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A)A B = (B) ,0A B A B ≠-=但(C) AB (D) A B 与不一定相似，但A B =4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则222A B C ++= （ ）(A) O (B) E (C) 2E (D) 3E5．设1010,0203A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1．已知1112223330a b c a b c m a b c =≠，则111122223333232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。

2．设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。

3．已知β为n 维单位列向量，T β为β的转置，若T C ββ= ，则2C = 。

4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则12T αα= 。

5．设A 是四阶矩阵，A *为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。

6．向量组123(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是 。

7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的解，则λ= 。

8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量(2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。

9．设21110012100,112004A a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 。

10．二次型222123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1．试求行列式1234ab b b ba b bD b b a b =的第四行元素的代数余子式之和.2.设100100020,010003031A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 求1()AB -.3．设n 阶方阵,A B 满足2A B AB +=，已知120120003B ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，求矩阵A . 4．设二次型22212312313(,,)222(0)f x x x ax x x bx x b =+-+>中，二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12 .（1）求,a b 的值；（2）用配方法化该二次型为标准形.四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分） 1．当λ为何值时，方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩ 无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解.2已知向量组1(1,3,2,0)T α=，2(7,0,14,3)Tα= ，3(2,1,0,1)T α=-，45(5,1,6,2),(2,1,4,1)T T αα==-，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.3．已知矩阵122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；判断A 能否对角化，若可对角化，求正交矩阵P ，使1PAP -为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。

五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1．设α是n 阶矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.证明：α也是534A A E -+的特征向量. 其中E 为n 阶单位矩阵.2. 设n 维向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ 线性相关，证明：δ必可由,,αβγ线性表示.《线性代数》（A 卷）答案要点及评分标准一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1．A ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．C .二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1．6m ； 2．(2,0,1)； 3．Tββ； 4．0； 5．0； 6．线性无关； 7． 1； 8． 1,1,-1； 9． 1； 10． 2.三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1、解：414243441111a b b bb a b bA A A A b b a b +++=………4分 300()001a b a b a b a b a b a b b a b ----==-- ………8分2、解：方法一：100100100020010020003031093AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………2分100100()0200100931ABE ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭→10010010********312⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭→10010010100023100123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以11001()00231023AB -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………8分（2）方法二：11110010010011()010000022********0323AB B A ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭………8分3、解：方法一：由2A B AB +=, 得到()2A E B B -=-，……2分→110010210100021001002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ ……5分 所以，E B -可逆，12()A B E B -=--=320120003-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. ……8分020100(,)110010002001E B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭方法二：由2A B AB +=, 得到()2A E B B -=-， ……2分 用初等列变换求A0201100022240240006E B B -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ → 100010001320120003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭……6分所以， 320120003A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. ……8分4、 解：二次型的矩阵002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 根据题意得到22(2)1,4212a a b ++-=--=- 1,2a b == ………4分f =222222123131323224(2)26x x x x x x x x x +-+=++- 令 11322332y x x y x y x=+⎧⎪=⎨⎪=⎩，标准形为22212326y y y +-. ………8分四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分）1、解： 2111(1)(54)455A λλλλ-=-=-+- 由克莱姆法则当415λλ≠≠-且时，方程组有唯一解； ……2分当45λ=-时(,)r A b =42115411254551⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→⋅⋅⋅→1045545510009--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭有()(,)r A r A b ≠，所以方程组无解； ……4分 当1λ=时(,)r A b =211111124551-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭→⋅⋅⋅→100101110000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ 有()(,)23r A r A b ==<，方程组有无穷多组解，原方程组等价于方程组为12311x x x =⎧⎨-=-⎩ 取30x =，得到特解(1,1,0)T η=-令31x =，代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为(1,0,1)T ξ=方程组的全部解为x k ηξ=+ 其中k 为任意常数 ……10分2、解：初等行变换矩阵12345(,,,,)ααααα到行最简梯矩阵为123451725230111(,,,,)21406403121ααααα⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→ 211003311010330011000000⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭……6分可得向量组的秩为3，向量组的一个极大无关组为123,,ααα，且41235122111,3333ααααααα=++=-+ ……10分3、解：A 的特征多项式为2122212(5)(1)221E A λλλλλλ----=---=-+--- ………3分得到矩阵A 的全部特征值为1231,5λλλ==-= 当121λλ==-时，由()0E A x --=得一个基础解系12(1,1,0),(1,0,1)T T ξξ=-=-正交化,单位化1(T β=，2(Tβ=当35λ=时，由(5)0E A x -=的一个基础解 3(1,1,1)T ξ=将其单位化得3Tβ= ………8分 因此A 能对角化且正交阵123(,,)6Pβββ⎛⎫⎪==-⎝，1P AP-=Λ使，相应的对角阵为100010005-⎛⎫⎪Λ=-⎪⎪⎝⎭……10分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、证明：因为,Aαλα=有53535353(4)44(41)A A E A Aααααλαλααλλα-+=-+=-+=-+根据特征值和特征向量的定义得α也是534A A E-+的特征向量.………4分2、证明：由,,αβγ线性无关，得到,αβ线性无关，又,,αβδ线性相关，则δ可以由,αβ线性表示，所以δ必可由,,αβγ线性表示.………4分。