竖直平面内圆周运动任意点向心力的计算
徐汇区教师进修学院 张培荣
题：如图所示，质量为M 的圆环，用一根细线悬挂着，另有两个质量为m 的带孔小球，可以穿在环上无摩擦地滑动，当两球同时由圆环顶部放开，并沿相反方向滑下时，小球与圆心连线与竖直方向的夹角为θ。

（1）在圆环不动的条件下，求悬线的张力T 随θ的变化规律，（2）小球与圆环的质量比m M
至少为多大时圆环才能上升？ 分析与解：（1）设圆环半径为R ，由机械能守恒：mgR （1－cos θ）＝12
mv 2，得v 2＝2gR （1－cos θ），
此时小球受到重力和环的支持力N ，将重力分解如右图所示，则
mg cos θ－N ＝m v 2R
，则 N ＝mg cos θ－m v 2R
＝mg cos θ－2mg （1－cos θ）＝3mg cos θ－2mg ， 对圆环，受到重力和两个小球对它斜向下的压力及绳子拉力，所以
T ＝Mg ＋2 N cos θ＝Mg ＋6 mg cos 2θ－4mg cos θ。

（2）因为T 是cos θ的二次函数，所以当cos θ＝4mg 12mg ＝13
时，T 最小，T 的最小值为 T min ＝Mg ＋6 mg ⨯19 －4mg ⨯13 ＝Mg －23
mg ， 要环能升起，必须此最小值小于或等于零，则
Mg －23 mg ≤0，即m M ≥32 。