BA 6122--图6121--图专题二：竖直平面内的圆周运动的综合问题【学习目标】1. 了解竖直平面内的圆周运动的特点．2. 了解变速圆周的运动物体受到的合力产生的两个效果，知道做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心．3. 掌握处理变速圆周运动正交分解的方法．4. 学会用能量观点研究竖直平面内圆周运动．【教材解读】1. 竖直平面内的圆周运动的特点竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动．2. 变速圆周运动所受合外力产生两个效果 做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心(图6-12-1)，它产生两个方向的效果． 12F F F ⎧−−−−−−−→⎪⎨−−−−−−−→⎪⎩ 合产生向心加速度产生切线方向加速度半径方向的分力改变速度的方向切线方向的分力改变速度的大小 因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F 1提供向心力．3. 变速圆周运动中的正交分解应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿法线（半径）方向，法线方向的合力F 1改变速度的方向；另一个沿切线方向，切线方向的合力F 2改变速度的大小．（想一想，图 6-12-1中物体的速度在增大还是减小？）4. 处理竖直平面内圆周运动的方法如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问题的有效方法．另外要注意在不同约束条件下物体能完成圆周运动的条件不同：在绳（或沿圆轨道内侧运动）的约束下，最高点速度v ≥度v ≥ 0．【案例剖析】例1．如图6-12-2所示，质量为m 的小球自半径为R 的光滑半圆形轨道最高点A 处由静止滑下，当滑至最低点B 时轨道对小球的支持力是多大？解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对小球做功，所以小球的机械能守恒．212mgR mv =由机械能守恒定律得: 2, 3v B F mg m F mg R-==在点,根据牛顿第二定律有:由可解得 例2．如图6-12-3所示，长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端拴质量为m 的小球，在O 点正下方距离O 点d 处有一钉子．将细绳拉成水平无初速释放小球，为使细绳碰到钉子后小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，d 应满足什么条件？ 解析：为使小球能绕钉子做完整的圆周运动，小球必须能通过圆周的最高点，设小球运动的轨道半径为R ，则小球在最高点的速度应满足：v ≥21 22mgl mgR mv =+根据机械能定律有: 由此可解得：R ≤ 0.4l ．所以，d 满足的条件是：0.6l ≤ d < l ．例3．风洞实验室中可产生大小、方向可调节的风力．用长为l 的细线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右（如图6-12-4所示），当小球静止在A 点时，悬线与竖直方向夹角为α．试求：⑴ 水平风力的大小；⑵ 若将小球从竖直位置由静止释放，当悬线与竖直方向成多大角度时，小球的速度最大？最大速度是多少？解析： ⑴参照图6-12-5，根据平衡知识，可求得风力大小F = mgtanα，同时还可求得风力与重力的合力为mg/cos α．⑵当小球运动到细线与竖直方向夹角为β时，建立如图6-12-6所示的坐标系：在x 轴方向，当Fcosβ >mgsinβ时，小球速度在增大；当Fcosβ <mgsinβ时，小球速度在减小．当Fcosβ = mgsinβ时小球的速度达到最大，将第⑴问中的F 代入即可解得：β = α．21sin (1cos )2Fl mgl mv αα--=根据动能定理得:tan F mg v α==将代入可解得思考：⑴小球静止在A 点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？ 如图6-12-7所示，小球必须能通过B 点才能做完整的圆周运动，设通过B 点时小球的最小速度为v min ，则此时绳上拉力恰好为零．222min min 11 2cos cos 22v mg mg m l mv mv l vαα==-=(1)(2)由(1)(2)可解得: ⑵若将风力方向调节为竖直向上，并使风力大小恰好等于小球重力，那么，在最低点给小球水平方向的初速度，试分析小球的运动情况．6124--图6123--图F6125--图6126--图6127--图分析：因为合力对小球始终不做功，故动能不变，所以小球做匀速圆周运动．【知识链接】飞行员在进行特技飞行表演时，会发生黑视现象．当飞行员从俯冲状态往上拉时（图6-12-8），血液处于超重状态，视重增大，心脏无法象平常一样运输血液，导致血压降低，从而导致视网膜缺血．【目标达成】1．如图6-12-9所示，小球在竖直放置的光滑圆弧轨道内侧做圆周运动，下列关于小球加速度方向的说法中，正确的是（ ）A. 一定指向圆心B. 一定不指向圆心C. 只有在最高点和最低点指向圆心D. 除最高点和最低点外，肯定不指向圆心解析：对小球受力分析可知，只有小球处于最高点和最低点时，弹力与重力的合力才指向圆心，其他位置均不指向圆心，故选项C 、D 正确．2．上海锦江乐园新建的“摩天转轮”是在直径为98m 的圆周上每隔一定位置固定一座舱，每座舱有6个座位．游人乘坐时，转轮始终不停地在竖直平面内匀速转动，试判断下列说法中正确的是（ ）A. 每时每刻，乘客受到的合力都不为零B. 每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C. 乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变D. 乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变解析：由于乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，故受到合力指向圆心，选项A 正确、B 错误．将加速度沿水平、竖直方向分解可知：人位于转轴以下时，人处于超重状态，人对座位的压力大于人的重力；人位于转轴以上时，人处于失重状态，人对座位的压力小于人的重力，故选项C 错误．在运动过程中，人动能始终不变，而势能在变化，所以选项D 错误．故本题正确选项为A ．3．如图6-12-10所示，细线长为l ，一端固定在O 点，另一端系一小球，把线拉至水平位置，然后无初速释放小球，在达到最低点时小球加速度为a ，线的拉力为F ，则它们之间的关系为（ ） A ． l 越长，a 越大，F 也越大B ． l 越长，a 越大，F 不变C ． l 越长，F 越大，a 不变D ． a 、F 均不随l 的变化而变化解析：根据机械能守恒定律和牛顿第二定律可求得：F = 3mg ，a = 2g ，故选项D 正确．4．如图6-12-11所示，将完全相同的两个小球A 、B ，用长0.8m 的细线悬于以v = 4m/s 向右匀速行驶的车厢顶部，两球分别与小车前后壁接触，由于某种原因，车厢突然停止，此时前后悬线的拉力之比为（ ）A. 1：1B. 1：2C. 1：361210--图6129--图61211--图6128--图D. 1：4解析：车厢停止时，前面小球也静止，故拉力等于重力；后面小球由于惯性开始做圆周运动，根据牛顿第二定律可解得此时绳上拉力是其重力的3倍，故选项C 正确．5．如图6-12-12所示，质量为m 的小球用细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动，已知小球运动到最高点时对绳的拉力为mg ，则小球运动到最低点时对绳的拉力为（ ）A ．3mgB ．5mgC ．7mgD ．9mg 解析：在最高点：21v mg mg m R +=，在最低点：22v F mg m R-= 由机械能守恒定律：222111222mgR mv mv =-；由此可得正确选项为C ． 6．如图6-12-13所示，从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R 1，半球的半径为R 2，则R 1和R 2应满足的关系是（ ） 21212121A. B.2C. D. 2R R R R R R R R ≤≤≥≥解析：为使小物块不沿半球面下滑，则它在球顶端的速度v 定律可得：2112mgR mv =，联立解得D 为正确选项． 7．童非是我国著名的体操运动员，首次在单杠项目上实现了“单臂大回环”，即用一只手抓住单杠，伸展身体以单杠为轴做圆周运动．假设童非的质量为65kg ，那么，在完成“单臂大回环”的过程中，童非的单臂至少要能够承受 N 的力（g 取10m/s 2）解析：设童非做圆周运动的轨道半径为R （R 为其重心离转轴的距离），则在最高点，其最小速度可为0． 在最低点：2v F mg m R-= 由机械能守恒定律：2122mgR mv =，由此解得F = 5mg =3250N ． 8．如图6-12-14所示，支架质量为M ，放在水平地面上，转轴O处用长 l 的细绳悬挂质量为m 的小球．⑴ 把小球拉起到细绳水平的位置，然后释放小球，当它运动到最低点时地面对支架的支持力多大？⑵若小球在竖直平面内摆动到最高点时，支架恰对地面无压力，则小球在最高点的速度是多大？61212--图61214--图61213--图61216--图解析：⑴设小球运动到最低点速度为v ，由机械能守恒定律和牛顿第二定律得：221; 32v mgl mv F mg m F mg l=-==由此可得 所以此时地面对支架的支持力F N = Mg + F = Mg +3mg⑵运动到最高点时，支架恰对地面无压力，说明细绳上的拉力F = Mg2: :v mg F m v l+==对小球解得【拓展提高】 9．如图6-12-15所示，半径为R 、内径很小的光滑半圆管置于竖直平面内，两个质量均为m 的小球A 、B ，以不同的速度进入管内，A 通过最高点C 时，对管壁上部的压力为3mg ，B 通过最高点C 时，对管壁的下部压力为0.75mg ，求A 、B 两球落地点间的距离．解析：设A 、B 两球到达最高点时速度分别为vA 、vB ，根据牛顿第二定律，22: 3 :: 0.75 :A A B B v A mg mg m v R v B mg mg m v R +==-==对球解得对球解得A 、B 两球离开C 后做平抛运动，落地点间距设为△x ，根据平抛运动规律有： 2() 3122A B x v v t x R R gt ∆=-⨯⎫⎪∆=⎬=⎪⎭解得 10．如图6-12-16所示，光滑水平面AB 与竖直平面内半圆形导轨在B 点衔接，导轨半径为R ．一个质量为m 的物块静止在A 处压缩弹簧，在弹力作用下获得向右的初速度，当它经过B 点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C 点．求： ⑴ 弹簧对物块的弹力做的功； ⑵ 物块从B 至C 克服阻力做的功； ⑶ 物块离开C 点后落回水平面时的动能是多大？解：物块在B 点时受力mg 和导轨的支持力F N =7mg ，由牛顿第二定律得：2217 32B KB B v mg mg m E mv mgR R -=∴==物块到达C 点时仅受重力mg ，由牛顿第二定律得：2211 22c KC C v mg m E mv mgR R =∴== ⑴根据动能定理，可求得弹簧弹力对物块做功为= 3KB W E mgR =弹⑵物体从B 到C 只有重力和阻力做功，根据动能定理有：61215--图2 :0.5KC KB W mgR E E W mgR -=-=-阻阻解得即物体从B 到C 克服阻力做功为0.5mgR⑶物体离开轨道后做平抛运动，仅有重力做功，机械能守恒． 0.52 2.5K KC pC E E E mgR mgR mgR =+=+=章末综合知识网络。