竖直面内的圆周运动
一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型
1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。

物理情景最高点无支撑最高点有支撑
实例球与绳连接、水流星、沿内轨道
的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
异同点受力
特征
除重力外，物体受到的弹力方
向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：向
下、等于零或向上
受力
示意
图
力学
方程
mg＋F N＝m
v2
R mg±F N＝m
v2
R
临界
特征
F N＝0
mg＝m
v2min
R
即v min＝gR
v＝0
即F向＝0
F N＝mg
过最高点的条
件
在最高点的速度v≥gR v≥0
【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()
A ．小球的质量为aR
b
B ．当地的重力加速度大小为R
b
C ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上
D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD
【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。

G ＝10 m/s 2。

求：
(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？
(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上
【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。

这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。

以水为研究对象， mg ＝m v 20L
解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s
(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。

V ＝ 3 m/s>v 0，水不会流出。

设桶底对水的压力为F ，则由牛顿第二定律有：mg ＋F ＝m v 2L
解得F ＝m v 2L －mg ＝0.5×(32
0.6
－10)N ＝2.5N
根据牛顿第三定律F ′＝－F
所以水对桶底的压力F ′＝2.5N ，方向竖直向上。

【跟踪短训】
1. 如图所示，一内壁光滑、质量为m 、半径为r 的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天花板上．有一质量为m 的小球(可看做质点)在圆管中运动．小球以速率v 0经过圆管最低点时，杆对圆管的作用力大小为( )
A ．m v 20r
B ．mg ＋m v 2
r
C ．2mg ＋m v 2
r
D ．2mg －m v 20
r
【答案】C
2. (多选)如图所示，半径为R 的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m 在圆形轨道内侧做圆周运动．对于半径R 不同的圆形轨道，小球m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的
有( )．
A ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大
B ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越小
C ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大
D ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小 【答案】 AD
【解析】 在最高点时，由mg ＝m v 2
R 可得v ＝gR ，所以半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越
大，A 正确；由机械能守恒可知12mv 2＋mg ×2R ＝12mv 20，所以v 0＝5gR ，由ω＝v
R ＝5g
R
，故半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小，D 正确．
3．(多选)如图所示，长为L 的轻杆一端固定质量为m 的小球，另一端固定转轴O ，现使小球在竖直平面内做圆周运动．P 为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为9
2
gL ，则以下判断正确的是( )．
A ．小球不能到达P 点
B ．小球到达P 点时的速度小于gL
C ．小球能到达P 点，但在P 点不会受到轻杆的弹力
D ．小球能到达P 点，且在P 点受到轻杆向上的弹力 【答案】 BD
4. 如图所示，轻杆长为3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B ，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力。

忽略空气阻力。

则球B 在最高点时( )
A ．球
B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gL
C ．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 【答案】 C
【解析】 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg ＝m v B 2
2L ，解
得v B ＝2gL ，故A 错误；由于球A 、B 的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝1
22gL ，故B 错误；球B 在
最高点时，对杆无作用力，此时球A 所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2
L ，解得：F
＝1.5mg ，则水平转轴对杆的作用力为1.5mg ，故C 正确，D 错误。

二、竖直面内圆周运动与平抛运动组合
物体有时先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。

解题技巧
(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。

(2)速度是联系前后两个过程的关键物理量。

【典例1】如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球。

现将小球拉到A点(保持轻绳绷直)由静止释放，当它经过B点时轻绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点，地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知轻绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)地面上D、C两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小。

【答案】(1)1.41 m(2)20 N
【典例2】为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，
长为L1＝2 3 m的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为L2＝
3
2m的水平轨道BC 相连，然后在C 处设计
一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。

现将一个小球从距A 点高为h ＝0.9 m 的水平台面上以一定的初速度v0 水平弹出，到A 点时速度方向恰沿AB 方向，并沿倾斜轨道滑下。

已知小球与
AB和BC 间的动摩擦因数均为μ＝
3
3。

g取10 m/s
2，求：
(1) 小球初速度v 0的大小； (2) 小球滑过C 点时的速率v C ；
(3) 要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R 应该满足什么条件。

【答案】 (1) 6 m/s (2)3 6 m/s (3)0＜R ≤1.08 m
【解析】(1) 小球做平抛运动到达A 点，由平抛运动规律知竖直方向有：v 2y ＝2gh ，即：v y ＝3 2 m/s 因为在A 点的速度恰好沿AB 方向，所以小球初速度：v 0＝v y tan 30°＝ 6 m/s
(2)从水平抛出到C 点的过程中，由动能定理得：mg (h ＋L 1sin θ)－μmgL 1cos θ－μmgL 2＝12mv 2C －12mv 20
当圆轨道与AB 相切时：R 3＝L 2tan 60°＝1.5 m ，即圆轨道的半径不能超过1.5 m 综上所述，要使小球不离开轨道，R 应该满足的条件是：0＜R ≤1.08 m 。

【典例3】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B 点脱离后做平抛运动，经过0.3 s 后又恰好垂直与倾角为45° 的斜面相撞．已知半圆形管道的半径为R ＝1 m ，小球可看作质点且其质量为m ＝1 kg ，g 取10 m /s 2.则( )
A ．小球在斜面上的相碰点C 与
B 点的水平距离是0.9 m B ．小球在斜面上的相碰点
C 与B 点的水平距离是1.9 m C ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是1 N
D ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是2 N 【答案】AC。