第1练集合与常用逻辑用语[考情分析] 1.集合作为高考必考内容，命题较稳定，难度较小，常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低，其中充分必要条件的判断需要关注，常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题．考点一集合的概念与运算要点重组1．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.2．A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.3．若已知A∩B＝∅，要注意不要漏掉特殊情况：A＝∅或B＝∅；若已知A⊆B，要注意不要漏掉特殊情况：A＝∅.1．(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)等于()A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}答案 A解析∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{－1,0,1,2}．又U＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{－2,3}．2．(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．3．(2020·聊城模拟)已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－x －6≥0}，则A ∩(∁R B )等于( )A ．{x |2≤x <3}B ．{x |2<x ≤3}C ．{x |－2<x ≤3}D ．{x |－3<x ≤2}答案 A解析 因为B ＝{x |x 2－x －6≥0}，所以B ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，所以∁R B ＝{x |－2<x <3}，又A ＝{x |x ≥2}，所以A ∩(∁R B )＝{x |2≤x <3}，故选A.4．(2020·浙江)已知集合P ＝{x |1<x <4}，Q ＝{x |2<x <3}，则P ∩Q 等于( )A ．{x |1<x ≤2}B ．{x |2<x <3}C ．{x |3≤x <4}D ．{x |1<x <4} 答案 B 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <4，2<x <3，解得2<x <3， 所以P ∩Q ＝{x |2<x <3}．考点二 充要条件的判定 要点重组1．充要条件的判定方法：(1)定义法：定条件，找推式(条件间的推出关系)，下结论．(2)集合法：根据集合间的包含关系判定．(3)等价转换法：根据逆否命题的等价性判定．2．“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，但A 不能推出B ，而“A 是B 的充分不必要条件”是指A 能推出B ，但B 不能推出A .5．设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若f (x )＝cos x ＋b sin x 为偶函数，则对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x ＋b sin x ，∴2b sin x ＝0.由x 的任意性，得b ＝0.故f (x )为偶函数⇒b ＝0.必要性成立．反过来，若b ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数，充分性成立．∴“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充要条件．6．设x ∈R ，则“x 2＋x －2>0”是“1<x <5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 解不等式x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，∵{x |1<x <5}是{x |x <－2或x >1}的真子集，∴“x 2＋x －2>0”是“1<x <5”的必要不充分条件，故选B.7．(2020·浙江最后一卷)已知a ，b 为正实数，p ：a ＋b ≤4，q ：1a ＋1b≥1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 方法一 已知a ，b 为正实数，充分性：因为a ＋b ≤4，所以1a ＋1b ＝14×4×⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥14×(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝14×⎝⎛⎭⎫1＋a b ＋b a ＋1≥14(2＋2)＝1，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，因此充分性成立．必要性：当a ＝1，b ＝5时，满足1a ＋1b≥1，但显然a ＋b ＝6>4，所以必要性不成立． 所以p 是q 的充分不必要条件．方法二 因为a ，b 为正实数，所以(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以若a ＋b ≤4，则1a ＋1b≥1，充分性成立； 反之，则不一定成立．8．(2020·浙江名校押题卷)已知函数f (x )＝a 3x 3＋x 2＋ax ＋b ，其中a ，b ∈R ，则“函数f (x )有两个不同的极值点”是“a <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为函数f (x )有两个不同的极值点，所以f ′(x )＝ax 2＋2x ＋a 有两个变号零点，令ax 2＋2x ＋a ＝0，则Δ＝4－4a 2>0且a ≠0，解得－1<a <1且a ≠0.因此“函数f (x )有两个不同的极值点”是“a <1”的充分不必要条件．考点三 集合、常用逻辑用语的综合应用要点重组1．集合的新定义是高考热点，解题关键是按照新的定义准确提取信息等进行相关的推理运算．2．利用充分、必要条件求参数范围时，可将条件之间的关系转化为集合之间的关系.9.已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21 答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.10．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 B解析 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)．11．(2020·浙江知名重点中学联考)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}，Q ＝{x |x ≥a }．若P ∪Q ＝R ，则实数a 的取值范围是________；若P ∩Q ＝Q ，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，－2] (4，＋∞)解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2，所以P ＝{x |x >4或x <－2}．若P ∪Q ＝R ，因为Q ＝{x |x ≥a }，所以a ≤－2.若P ∩Q ＝Q ，因为Q ＝{x |x ≥a }，所以a >4.12．已知p ：|x |≤m (m >0)，q ：－1≤x ≤4，若p 是q 的充分条件，则实数m 的最大值为________；若p 是q 的必要条件，则实数m 的最小值为________．答案 1 4解析 由|x |≤m (m >0)，得－m ≤x ≤m . 若p 是q 的充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤4， 解得0＜m ≤1，∴m 的最大值为1. 若p 是q 的必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m ≥4， 解得m ≥4，∴m 的最小值为4.1．(2020·三门峡模拟)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2]B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,1)D ．(－1,0)∪(0,2)答案 C解析 A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |x <1}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x <1}，故选C.2．(2020·山东六地市联考)已知a ，b 都是正数，则“log a 3＜log b 3”是“3a ＞3b ＞3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由log a 3＜log b 3，得0＜b ＜a ＜1或0＜a ＜1＜b 或a ＞b ＞1，由3a ＞3b ＞3，得a ＞b ＞1，∴“log a 3＜log b 3”是“3a ＞3b ＞3”的必要不充分条件．故选B.3．(2020·浙江名校押题卷)已知p ：f (x )＝2cos(ωx ＋θ)(ω≠0)是奇函数，q ：θ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若f (x )＝2cos(ωx ＋θ)(ω≠0)是奇函数，则θ＝k π＋π2，k ∈Z ， 故p 不能推出q ，充分性不成立；若θ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 则f (x )＝2cos(ωx ＋θ)(ω≠0)是奇函数，故q 可以推出p ，必要性成立．因此p 是q 的必要不充分条件．4．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：“x 2＋y 2≤r 2”，q ：“|x |＋|y |≤1”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数r 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22 B ．(0,1]C.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ D ．[1，＋∞) 答案 A解析 如图，x 2＋y 2≤r 2(r >0)表示的平面区域是以原点为圆心，r 为半径的圆上和圆内的部分，|x |＋|y |≤1表示的平面区域是正方形ABCD 及其内部，其中A (1,0)，B (0,1)，C (－1,0)，D (0，－1)，因为p 是q 的充分不必要条件，所以由图可知，原点到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1|12＋12＝22≥r ，所以r 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，22.故选A.5．(2020·浙江)设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足： ①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则y x∈S . 下列命题正确的是( )A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素答案 A解析 由题意，①令S ＝{1,2,4}，则T ＝{2,4,8}，此时，S ∪T ＝{1,2,4,8}，有4个元素；②令S ＝{2,4,8}，则T ＝{8,16,32}，此时S ∪T ＝{2,4,8,16,32}，有5个元素；③令S ＝{2,4,8,16}，则T ＝{8,16,32,64,128}，此时，S∪T＝{2,4,8,16,32,64,128}，有7个元素．综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C，D；由③可知A正确．6．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出以下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．答案②解析①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k1，k1∈Z}，A2＝{n|n＝2k2，k2∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k1＋2k2∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．。