8＋6分项练1 集合与常用逻辑用语1．(2018·烟台适应性考试)已知全集U ＝Z ，A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |x 2＝3x }，则A ∩(∁U B )等于( ) A ．{1,3} B ．{1,2} C ．{0,3} D ．{3}答案 B解析 由题意得B ＝{x |x 2＝3x }＝{0,3}， ∴A ∩(∁U B )＝{1,2}．2．(2018·南昌模拟)已知a ，b 为实数，则“ab >b 2”是“a >b >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由a >b >0，得ab >b 2成立， 反之：如a ＝－2，b ＝－1，满足ab >b 2， 则a >b >0不成立，所以“ab >b 2”是“a >b >0”的必要不充分条件，故选B.3．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知集合A ＝{} |y y ＝x 2－1，B ＝{x |y ＝ln(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )等于( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12答案 C解析 A ＝[0，＋∞)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 4．下列命题中，假命题是( )A ．∀x ∈R ，e x>0 B ．∃x 0∈R,02x>x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件 答案 C解析 对于A ，根据指数函数y ＝e x 的性质可知，e x>0总成立，故A 正确； 对于B ，取x 0＝1，则21>12，故B 正确；对于C ，若a ＝b ＝0，则a b无意义，故C 错误，为假命题；对于D ，根据不等式的性质可得当a >1，b >1时，必有ab >1，但反之不成立，故D 正确． 5．(2018·漳州质检)满足{2 018}⊆A {2 018,2 019，2 020}的集合A 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意，得A ＝{2 018}或A ＝{2 018,2 019}或A ＝{2 018，2 020}．故选C. 6．(2018·山西省榆社中学模拟)设集合A ＝{x |x 2－6x －7<0}，B ＝{x |x ≥a }，现有下面四个命题：p 1：∃a ∈R ，A ∩B ＝∅；p 2：若a ＝0，则A ∪B ＝(－7，＋∞)； p 3：若∁R B ＝(－∞，2)，则a ∈A ； p 4：若a ≤－1，则A ⊆B .其中所有的真命题为( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 2，p 4答案 B解析 由题意可得A ＝()－1，7，则当a ≥7时，A ∩B ＝∅，所以命题p 1正确；当a ＝0时，B ＝[0，＋∞)，则A ∪B ＝(－1，＋∞)， 所以命题p 2错误；若∁R B ＝()－∞，2，则a ＝2∈A ， 所以命题p 3正确；当a ≤－1时，A ⊆B 成立，所以命题p 4正确．7．(2018·衡水金卷调研卷)已知a >0，命题p ：函数f (x )＝lg ()ax 2＋2x ＋3的值域为R ，命题q ：函数g (x )＝x ＋ax在区间(1，＋∞)内单调递增．若(綈p )∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1 答案 D解析 由题意，函数f (x )＝lg ()ax 2＋2x ＋3的值域为R ，a >0，故Δ＝4－12a ≥0，解得a ≤13，故0<a ≤13，即p ：0<a ≤13；若a >0，g (x )＝x ＋ax 在区间(1，＋∞)内单调递增，即g ′(x )＝1－ax2≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，即a ≤x 2在区间(1，＋∞)内恒成立，解得0<a ≤1，因为 (綈p )∧q 是真命题，所以p 为假命题，q 为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧a >13，0<a ≤1，得13<a ≤1，故选D. 8．(2018·河北衡水中学模拟)下面几个命题中，假命题是( ) A ．“若a ≤b ，则2a ≤2b－1”的否命题B ．“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x在定义域内单调递增”的否定C ．“π是函数y ＝sin x 的一个周期”或“2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期”D ．“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的必要条件 答案 D解析 对于A ，“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”的否命题是“若a >b ，则2a >2b－1”，A 是真命题； 对于B ，“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x在定义域内单调递增”的否定为“∃a 0∈(0，＋∞)，函数y ＝a x0在定义域内不单调递增”．如当a ＝12时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，B 为真命题；对于C ，因为“π是函数y ＝sin x 的一个周期”是假命题，“2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期”是真命题，所以C 为真命题；对于D ，“x 2＋y 2＝0”⇒“xy ＝0”，反之不成立，因此“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的充分不必要条件，D 是假命题．9．(2018·昆明适应性检测)已知集合A ＝{}x | x 2－4x －3≤0，B ＝{}x ∈N | －1<x <3，则A ∩B ＝________.答案{}0，1，2解析 B ＝{}x ∈N | －1<x <3＝{}0，1，2.将0,1,2分别代入集合A ＝{}x | x 2－4x －3≤0中的不等式，可得02－4×0－3≤0，化简得－3≤0，此不等式成立，故有0； 12－4×1－3≤0，化简得－6≤0，此不等式成立，故有1， 22－4×2－3≤0，化简得－7≤0，此不等式成立，故有2.10．(2018·内蒙古鄂伦春自治旗模拟)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，x －y ≥4表示的区域为Ω，点P的坐标为(x ，y )．有下面四个命题：p 1：∀P ∈Ω，y ≤0； p 2：∀P ∈Ω，12x －y ≥2； p 3：∀P ∈Ω，－6≤y ≤65； p 4：∃P 0∈Ω，12x 0－y 0＝15.其中的真命题是________． 答案 p 1，p 2解析 根据不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可得，∀P ∈Ω，y ≤0，故p 1正确，p 3错误；令z ＝12x －y ，即y ＝12x －z ，由图可得，当直线y ＝12x －z 经过点(4,0)时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小，则z min ＝12×4＝2，故p 2正确，p 4错误．11．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，所以∀x ∈R ，x 2－2x ＋m >0为真命题，即Δ＝4－4m <0，所以m >1.12．已知p ：x ≥a ，q ：x 2－2x －3≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 由x 2－2x －3≥0，得x ≤－1或x ≥3，若p 是q 的充分不必要条件，则{}x |x ≥a {}x |x ≤－1或x ≥3，所以a ≥3.13．(2018·上海普陀调研)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1m －1＋1(x －1)＋()|m |－1(x －2)，1≤x ≤2，若N ⊆M ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,0)解析 ∵ M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈R ＝(0，＋∞)，N ⊆M ，∴y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1m －1＋1(x －1)＋()|m |－1(x －2)在[1,2] 上恒为正，设f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1m －1＋1(x －1)＋()|m |－1(x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)>0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－|m |>0，1m －1＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <1，m >1或m <0，即－1<m <0，实数m 的取值范围是(－1,0)．14．已知M 是集合{}1，2，3，…，2k －1(k ∈N *，k ≥2)的非空子集，且当x ∈M 时，有2k－x ∈M .记满足条件的集合M 的个数为f (k )，则f (2)＝________；f (k )＝________. 答案 3 2k－1解析 将1,2，…，2k －1分为k 组，1和2k －1,2和2k －2，……，k －1和k ＋1，k 单独一组，每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合M ，每组属于或不属于M ，共两种情况，所以M 的可能性有2k，排除一个空集， 则可能性为2k－1，即f (k )＝2k－1，f (2)＝3， 故f (2)＝3，f (k )＝2k－1.。