习 题 四 解 答1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。

设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为解之得111a eb -⎧=-⎨=⎩则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为 所以010101()max max (1)2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤-=⨯⨯=。

2选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。

解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为 即解之得则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。

所以3、设(0,1,2,,)i x i n =是 n+1个互异节点，证明：（1）0()(0,1,2,,)n k k i i i x l x x k n ===∑；（2）0()()0(0,1,2,,)nk i i i x x l x k n =-==∑。

证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为 0()()nn i i i p x l x y ==∑，而y i =x i k ,所以0()()()n nk n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑同时，插值余项 所以0()nk k i i i l x x x ==∑结论得证。

（2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =，则对应的插值多项式为0()()()nk n i i i p x x t l x ==-∑，由余项公式，得(1)(1)011()()()()()()()()0(1)!(1)!nn kk n ki i i r x x t x t l x f x x t x n n ξξππ++==---==-=++∑所以令t=x ，4()f x = (1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差；(2)试用二次Newton 插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。

解：用线性插值计算f(2.3)，取插值节点为2.2和2.4，则相应的线性插值多项式是用x=2.3代入，得 (2)根据定理2f(x)＝f(x 0)＋f[x 0，x 1](x-x 0)+f[x 0，x 1，x 2](x-x 0)(x-x 1)+…+f[x 0，x 1，…，x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n －1)+f[x 0，x 1，…，x n ，x]π(x) 。

以表中的上方一斜行中的数为系数，得f(2.15)＝1.41421＋0.3501 ×(2.15-2.0)－0.047 ×(2.15-2.0) ×(2.15-2.1) ＝1.663725指出： 误差未讨论。

557()0167(1)(1)(2)(1)(2)(4)26p x x x x x x x x x x x =++--------。

指出： 余项未讨论。

解：由已知条件，显然，x 0=0，h=1，x=t 。

0(1)(1)(2)(1)(2)(3)()()01614(2)(140)2!3!4!(1)(2)35167(1)(1)(2)(3)36n n t t t t t t t t t p x th p t t t t t t t t t t t t ------+==+⨯+⨯+⨯-+⨯---=+------指出:在本题这种情况下,实际上()()n n p t p x =，也就是说,在这样的条件下,t 的多项式就是x 的多项式，可以直接转换。

一般情况下，把t 的关系转换为x 的关系需要根据x=x 0+th ，将t 用x 表示，即将0x x t h-=代入得到的多项式。

6解：所给节点是等距结点：000.125,0.125,,0,1,2,3,4,5i x h x x ih i ===+=。

令00()x x th t h=+=,根据等距结点插值公式，得 0(1)()()0.79618(0.02284)(0.00679)2!(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(0.00316)0.00488(0.00460)3!4!5!n n t t p x th p t t t t t t t t t t t t t t -+==+⨯-+⨯----------+⨯-+⨯+⨯-则(0.1581)(0.1581)(0.1250.2648)0.790294822,(0.636)(0.6363)(0.125 4.088)0.651804826n n n n f p p h f p p h ≈=+=≈=+=。

7、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足(1)(1)1,(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f p f ''''-=-=-======== (2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。

解：(1)由7*可以求出满足的三次埃尔米特插值多项式3252()2273H x x x =-+。

设22322252()()(3)2(3)273p x H x a x x x x a x x =+-=-++-，则p(x)满足(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========， 由(1)1f -=得 3222521(1)(1)2(13)(1)1273108a a ⨯--⨯-++---=⇒=-， 所以223222432521()()(3)2(3)27310811332108544p x H x a x x x x x x x x x =+-=-+--=-++-+。

(2)余项具有如下结构 作辅助函数则显然()t ϕ在点,1,0,3x -处有6个零点（其中0，3是二重零点），即 ()0,(1)0,(0)0,(0)0,(3)0,(3)0x ϕϕϕϕϕϕ''=-=====， 不妨假设(1,0)x ∈-。

由罗尔定理，存在123(1,),(,0),(0,3)x x ξξξ∈-∈∈， 使得123()0,()0,()0ϕξϕξϕξ'''===，再注意到(0)0,(3)0ϕϕ''==，即()t ϕ'有5个互异的零点12303ξξξ<<<< 再次由罗尔定理得，存在111223343(,),(,0),(0,),(,3)ηξξηξηξηξ∈∈∈∈， 使得1234()0,()0,()0,()0ϕηϕηϕηϕη''''''''====第三次应用罗尔定理得，存在112223334(,),(,),(,)ξηηξηηξηη∈∈∈ 使得123()0,()0,()0ϕξϕξϕξ'''''''''===，第四次应用罗尔定理得，存在112223(,),(,)μξξμξξ∈∈ 使得(4)(4)12()0,()0ϕμϕμ==，第五次应用罗尔定理得，存在12(,)τμμ∈使得(5)()0ϕτ= 注意到（()()()r t f t p t =-中p(t)是4次函数，其5次导数为0）。

所以(5)(5)(5)()()()5!()=0()=5!f f k x k x ξϕττ=-⇒，代入余项表达式，有(5)22()()()()(1)(3)5!f r x f x p x x x x ξ=-=+-。

指出：本题是非标准插值问题，比较简单的求解方法有：①求插值问题的基本方法是待定系数法。

以本题来说，有5个条件，可以确定一个4次的插值多项式，设为23301233y a a x a x a x a x =++++，将条件代入，建立一个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。

②求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。

具体方法与拉格朗日插值基函数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。

③以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特插值条件，代入未利用条件解方程（组），求出其中的未知参数，即可求出插值多项式。

本题也可以先利用(1)(1)1,(0)(0)2,(3)(3)1p f p f p f -=-=-====构造一个2次插值多项式2()p x ，以此为基础构造4次插值多项式4()p x ，4()p x 的结构是42()()()(1)(3)p x p x ax b x x x =+++-，满足再根据(0)(0)0,(3)(3)1p f p f ''''====列出两个线性方程组成的方程组，求出a 、b 两个参数，即可求出所求的插值多项式。

求插值函数余项()r x 的常用方法是：()()()r x f x p x =-应具有如下形式（以本题为例）作辅助函数则()t ϕ在点,1,0,3x -处有6个零点（其中0，3是二重零点）。

反复应用罗尔定理，直到至少有一个(4,4)τ∈-，使得(5)()0ϕτ=。

此时即有代入余项表达式即可求出。

7*、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x)，使其满足 (0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========。

解一（待定系数法）：解：设230123()H x a a x a x a x =+++，则2123()23H x a a x a x '=++，由插值条件得解之得0123252,0,,327a a a a ===-=，所以3252()2273H x x x =-+。

解二（基函数法）：解：设300110011()()()()()()()()()H x f x x f x x f x x f x x ααββ''=+++，因为线性拉格朗日插值基函数为100133()033x x x xl x x x ---===--，01100()303x x x xl x x x --===--，由④得 同理 由⑤得 则3252()2273H x x x =-+。