整理为word格式 专题二：圆 知识要点扫描归纳 一 圆的基本概念 （1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。 （2）确定圆的条件； ①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； ③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆； （3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外d＞r； ②点在圆上d=r； ③点在圆内 d＜r； （4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。 （5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。 （7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。
二 圆中的重要定理 1．垂径定理及其推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质． 推论2：圆的平行弦所夹的弧相等． 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论． 在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中： 圆心角相等所对所对所对弧相等弦相等弦心距相等 3．圆周角 ①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角． ②定理及推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径． 整理为word格式
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 推论4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角． 三、直线和圆的位置关系： 1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念 （1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线． （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2） 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）
2．直线和圆的位置关系性质和判定 如果⊙O的半径r，圆心O割直线l的距离为d，那么（1）直线l和⊙O相交dr（图 1）；（2）直线l和⊙O相切dr（图2）；（3）直线l和⊙O相离dr（图3）．
四、切线的判定和性质： （一）切线的判定 1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线． （二）切线的性质 1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径； 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径；
· l O 图1 · l O
图2
·
l O
图2
· l
O
图1 d r ·
l
O
图2 d r ·
l O
图3 d r 整理为word格式
（4）经过圆心垂直于切线的直线过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心． 五、三角形的内切圆 1．三角形的外接圆 过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等． 2．外心的位置 锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中
点，外接圆半径2CR(C为斜边长)
3．三角形的内切圆 到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角
形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为ABCS，周长为
a+b+c,则内切圆半径为:cbaSrABC2，当ba,为直角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径cbaabr或2cbar.
4．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角． 注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形． 六、切线长定理： 1．切线长概念： 在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB②PO平分APB． 4．两个结论： 圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 七、弦切角定理： ·
AOCDB
P 整理为word格式
1．弦切角概念： 理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3．弦切角定理的推论： 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等． 八 与比例线段相关的定理（了解） 1．相交弦定理及其推论： （1）定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 如图，AB，CD相交余E，则AE·EB=CE·DE
（2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项．如上右图，有AE·EB=CE2成立 2，切割线定理及其推论 （1） 定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项． 如上左图，PT切⊙O,PAB是⊙O的一条
割线，则有PT2=PA·PB成立． （2） 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等． 如上右图，有PA·PB=PC·PD成立． 九 圆中的相关计算 1． 弧长公式：半径为R的圆，其周长是R2，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长
应是圆周长的3601，而为1803602RR，因此，on的弧的弧长就是180Rn，于是得到公式：
)(180代表弧长lRnl。
2． （1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。 （2）扇形的周长： （3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。
P A
B
C
D P A B C D ·
O
P A B
T · · O
P A B C D
ABABlRlOBOA2 整理为word格式
S扇形=)(3602为扇形圆心角的度数为半径，nRRn 由上面两公式可知S扇形=213602nRlR．可据已知条件灵活选用公式。
3． 弓形的面积 （1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB。 （2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB。 十．两圆的位置关系： 1 圆与圆的位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含
图形 公共点 0个 1个 2个 1个 0个 d、r、R的关系 d>R+r d=R+r R-r外公切线 2条 2条 2条 1条 0条 内公切线 2条 1条 0条 0条 0条 2．两圆连心线的性质 （1）如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上． （2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦． 3．两圆的公切线 （1）与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;两个圆在公切线的两旁时,这条公切线叫做这两个圆的内公切线;公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的长; （2）两圆的两条外公切线长相等; （3）两圆的两条内公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上； （4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接． 考点扫描归纳
· O A B
· A B
O m ·
A B
O
m
· O2 ·
O1
· ·
O1 O2
R r d
· O1 ·
O2
R r R r
O2
O1 · ·
R
r
· O2
·
O1 R r