椭圆、双曲线、抛物线综合测试题一选择题（本大题共 是符合要求的） 2 y m J 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 1设双曲线 x 21的一个焦点为（0, 2），则双曲线的离心率为（）. 2x2椭圆 16 71的左、右焦点分别为 F 1, F 2，一直线经过 F i 交椭圆于A 、B 两点，则 ABF ?的周长为 A 32 B 16 C 3两个正数a 、 b 的等差中项是，等比中项是,6，则椭圆 1的离心率为（）13 3 4设F 1、F 2是双曲线x 2 24 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PR |=4|PF 2 |，则PF 1F 2的面积为 A 4,2 8.3 C 24 D 48 2 x 5 P 是双曲线— 9 16 =1的右支上一点，M 、N 分别是圆（x 5）2 1 和(x 5)2 y 2 =4 上的点，贝U | PM | |PN |的最大值为（ 6已知抛物线 x 24y 上的动点P 在x 轴上的射影为点 M ,点 A(3, 2)，则 | PA| | PM | 的 最小值为（ A .10 10 C .10 D 10 2 7 一动圆与两圆 x 2 1 和 x 22 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（椭圆 双曲线 D 抛物线2 x8若双曲线—a2y_ b 21(a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）S p FiF2=1^ 3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 _______________2 2 2 2xyxy14已知椭圆1与双曲线1 (m, n, p,qm np q16已知双曲线a 2"2=1 a 2的两条渐近线的夹角为三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9抛物线yx 2上到直线2xy 0距离最近的点的坐标（ )3 5(1,1)3 9D (2,4)A-J BC,- 2 42 410已知c 是椭圆2 2x y1(a Kb 0）的半焦距，则一C的取值范围（ ）a baA (1, )B(2)C(1,、②D (1,辽］11方程mx ny 20 与 mx 22ny1 (m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图A D 212若AB 是抛物线y 22px(p0）的动弦， 且 | AB | a(a 2 p ），则AB 的中点M 到y轴的最近距离是（)1 11 11 1 Aa B-p Ca -p D a — p 2 22 22 2二填空题（本大题共 4个小题， 每小题 5分 ,共20分.把答案填写在题中横线上）13设F i 、F 2分别是双曲线的左、右焦点,P 是双曲线上一点，且oC .5F 1PF 2 =60R ,m n ），有共同的焦点F 1、F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则|PF 1|?|PF 2|= -----------------15已知抛物线x2py(p0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17，贝V p =4—,则双曲线的离心率为3象可能是（）17. （10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：10,线段BQ 的垂直平分线交 AQ 于点P. ⑴求|PA| |PB|的值； ⑵写出点P 的轨迹方程.x 轴垂直的直线I 与椭圆相交，其中一个交点为M ('一 2,1).⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆的一个顶点为 B(0, b)，直线BF 2交椭圆于另一点N ，求F 1BN 的面积.220. (12分)已知抛物线方程 x 4y ，过点P(t, 4)作抛物线的两条切线 PA 、PB ，切 点为A 、B .⑴求证：直线 AB 过定点(0, 4); ⑵求 OAB (O 为坐标原点)面积的最小值.2 221 . (12分)已知双曲线与每 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，点P 在 a b 双曲线的右支上，且 | PF 1 |=3| PF 2 | .⑴求双曲线离心率 e 的取值范围，并写出 e 取得最大值时，双曲线的渐近线方程；4 — 3 — uur uurn⑵若点P 的坐标为(、10, ,10)，且PF 1 ? PF 2 =0,求双曲线方程.5 522. (12分)已知 O 为坐标原点，点 F 、T 、M⑴焦点在X 轴上，虚轴长为12,离心率为 ⑵ 顶点间的距离为6，渐近线方程为 y18. (12分)在平面直角坐标系中，已知两点5 ； 4 3X.2A( 3,0)及B(3,0) •动点Q 到点A 的距离为2X19. (12分)设椭圆— ab 21(a b 0)的左、右焦点分别为 F 1F 2，过右焦点F 2且与umr umrP 满足 OF =(1,0)，OT ( 1,t)，uuu r FMumr ujuu uiur uuur uuur MT，PM 丄FT，PT // OF⑴求当t变化时，点P1的轨迹方程；uuu uuir⑵若P2是轨迹上不同于P1的另一点，且存在非零实数使得FR FF2，求证： 1 1 LUlf umr=1.|FR| IFP 2I参考答案|PF i | - |PF 2|=2，解得 |PF i |=8, |PF 2|=6，又 |证| = 2。
=10 ,1PF 1F 2是直角三角形，S PF 1F 2= 8 6=24.故选C. 25 D 提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点，| PM | | PF 1 |+1 ,|PN | |PF 2| 2,• |PM | |PN | < |PF 1 |+1—( |PF 2| 2 ) =| PF | |— | PF 2 | +3= 2a +3=9.6A 提示：设d 为点P 到准线y 1的距离，F 为抛物线的焦点，由抛物线的定义及数形结合得，| PA| | PM | = d — 1 + | PA| = |PA|+| PF | — 1 > | AF |- 1=、10 1 .故选 A .2 2 2 27C 提示：设圆x y 1的圆心为0(0,0)，半径为1，圆x y 8x 12 0的圆心为ON 4,0) , O 为动圆的圆心，r 为动圆的半径，贝U IOO 1I |OO| = (r 2) (r 1)=1,所以根据双曲线的定义可知.故选C.a 2 b=m 2=4, • m =2 ,• e f f b 2 2a| AF 2 | + | BR | | BF 2 | = 4a =16•故选3C 提示: a b 5 根据题意得ab 6解得 a 3, b 2,「. c =、_5 ,••• e4C 提示：T P 是双曲线上的一点， 且 3|PF 1|=4|PF 2|, 1A 提示: 故选A.=吋|根据题意得c 2x8C提示：设其中一个焦点为F (c,0)，b一条渐近线方程为y —x ，根据题意得al b c| a 2 =2a ，化简得 b 2a ，二 b 1 a '2 2c ab 2 a 2 1 b = 4 = V5 .故a 9 B 提示：设P(x, x 2)为抛物线y x 2上任意一点，则点 P 到直线的距离为 |2x x 2 4| |(x 1)2 3|5 一，二当 X 1时，距离最小，即点 P (1,1).故选 B . 10 Dg — 「十 b c 提示：由于 a b 2 2 2 2,2 2 c 2bc b c be ~2 ' 2 a a=2, 11 C c a ，贝U b 一c > a 椭圆与抛物线开口向左. 1.故选D. 12 D 提示: 提示: 设A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),结合抛物线的定义和相关性质, 则AB 的中点M 到y轴的距离为 |AF| P |BF| p2 其值最小，即为 捲 x 2 2 1 1 a - - p .故选 D.2 2 2 IAF | | BF | p ,显然当 AB 过焦点时,填空题 2 2 x y 13 4 12 2 x 1提示：设双曲线方程为丐 a 2 y b 2S PF 1F 2=12、、3 ,••• |PF 1 | x |PF 2 |=48. 2c 22 2 |PF 1| +|PF 2| -21 PF 111 PF 21 cos F 1PF 2 , 解得 c 2 16 ,••• a 2=4, b 2=12. 14 m p 提示 根据题意得 |PF 1| |PF 1| |PF 2||PF 2| 解得| PF 1 | m | PF 2 | m . p .••• | PF 1 |?|PF 2 | = m p .15 -提示：利用抛物线的定义可知21p =_ .216 三 提示：根据题意得2 A , a ,6 ,••• c 2 2 ,••• e - 空3 •3a 3a 3三解答题4______ 2 2② 当0时，2 ~ =6,解得 1,此时所求的双曲线的标准方程为 上 — 1 .9418解：⑴ 因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P,「. | PB | = | PQ |, • |PA| | PB |=| PA| + |PQ | = | AQ |=10 ；⑵由⑴知|PA| |PB |=10（常数），又|PA| |PB|=10>6=| AB |, •点P 的轨迹是中心在原点，以 代B 为焦点，长轴在 x 轴上的椭圆，其中2a 10,2c 6，所以椭圆的轨迹方2 2 程为x- 乂 25162 2•所求椭圆的方程为：—1.4 22.2 2a b c•2b 12 ,解得a 8,b 6 , c10 ,•双曲线的标准方程为 2 20工164 36c 5 a 4⑵设以 y-x 为渐近线的双曲线的标准方程为2 X 2y249，①当0 时，2 '、厂=6, 解得一，此时所求的双曲线的标准方程为2 2X y 1 .49 81 '~~2a2 y21(a 0,b0)，b 22 X 17解：⑴因为焦点在 X 轴上，设双曲线的标准方程为19解：⑴t l 丄x 轴，••• F 2（'2,0），根据题意得2a 2 ab 2b 2 21，解得b 2⑵由⑴可知B(0, 2) ,•••直线BF2的方程为x 、22 工1, 2解得点N的纵坐标为-1 ,• S FBN= S3F1BN = F1F2N20解: ⑴设切点A(x1, y1),B(x2,y2)，又y 则切线PA的方程为：y yi (‘2^) -2=8 •切线PB的方程为：y y2 PA、PB的交点，•••1X1(x X1),1^X2(x X2)，即y-xj2y i,1X-i X21X2X2y i ；y2, 又因为点P(t, 4)是切线•••过A、B两点的直线方程为1tx21x2t21y，即一tx2y2,•直线AB过定点(0,4).1 +tx y22x0，解得x22tx 16=0,「. x1X2 2t , X!X2 4y12 当且仅当t |X10时, 21解：⑴TX2 | =2、X =2 : 64 > 16. OAB (O为坐标原点)面积的最小值I PF1 | - |PF2 |=2a , |PF1|=3|PF2| , • | PF1 |=3 a , | PF2 | = a ,由题意得| PF1 |+|PF2 |> | F,F21 ,• 4a >2c , 1，•双曲线离心率e 的取值范围为(1,2] •故双曲线离心率的最大值为2.UULT UULU 2 2 2⑵PF1?PF2=0,• |PF1| +|PF2| =4c2, 3 2 -a , 2又因为点P(4J10,3^0)在双曲线上，•5 5解得a24, b26, 160 9025225 1160• 2a b a2 2X y~2 2 1.a b•所求双曲线方程为;M FT是线段602=1，a10a2 4c2，即b222解⑴设p (x, y),uuur则由FMLULT MT 得点中点,• M (0,专),则nuur t pM=( x，-UUUy)，又因为FT =( 2,t),UJURT=( 1 x,t y)，uLun uuuRM 丄FT , ••• 2xuiu uuurRT // OF ,• ( 1 t(-2 y) 0,①x)?0 (t y)?1=0,即t由①和②消去参数得y2 4x .2uuu ⑵证明：易知F(1,0)是抛物线y 4X的焦点，由FR ujirFF2，得F、P i、P2三点共线,即R F2为过焦点F的弦.①当R P2垂直于x轴时，结论显然成立;②当R P2不垂直于x轴时，设R (X i, y i), F2(X2, y2)，直线P P2的方程为y k(x 1),y kx k ，口2，整理得y24x 2x22(k22)x k20 ,• x12k2X2 k24,x1 x21,1 …uuuIFP111 1uur =—IFP2I X1 11 = x1x2 2X2 1 x1x2(X1X2)-=1.1。