椭圆、双曲线、抛物线综合测试题一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1设双曲线2212y x m -=的一个焦点为(0,2)-，则双曲线的离心率为( ).D 2椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一直线经过1F 交椭圆于A 、B两点，则2ABF ∆的周长为（ ）A 32B 16C 8D 43 两个正数a 、b 的等差中项是52，，则椭圆22221x y a b +=的离心率为（ ）A4设1F 、2F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且31||PF =42||PF ，则12PF F ∆的面积为（ ）A B5 P 是双曲线22916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ）A 6B 7C 8D 96已知抛物线24x y =上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点(3,2)A ，则||||PA PM +的最小值为（ ）1212 7 一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线8若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）D 2 9抛物线2y x =上到直线20x y -=距离最近的点的坐标（ ） A 35,24⎛⎫⎪⎝⎭B (1,1)C 39,24⎛⎫⎪⎝⎭D (2,4) 10已知c 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的半焦距，则b ca+的取值范围（ ）A (1,)+∞B )+∞CD 11方程2mx ny +=0与22mx ny +=1(0,0,)m n m n >>≠表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ）12若AB 是抛物线22(0)y px p =>的动弦，且||(2)AB a a p =>，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ）A 12a B 12p C 1122a p +D 12a －12p 二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题BCDA中横线上）13 设1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且12F PF ∠=60o ，12PF F S ∆=2，则双曲线方程的标准方程为 ．14 已知椭圆221x y m n +=与双曲线221x y p q -=(,,,,)m n p q R m n +∈>，有共同的焦点1F 、2F ，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则12||||PF PF •= ．15 已知抛物线22(0)x py p =>上一点A (0,4)到其焦点的距离为174，则p = ．16已知双曲线2222x y a -=1(a >的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 ．三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴ 焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54；⑵ 顶点间的距离为6，渐近线方程为32y x =±.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知两点(3,0)A -及(3,0)B ．动点Q 到点A 的距离为10，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ． ⑴求||||PA PB +的值； ⑵写出点P 的轨迹方程．19．（12分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l与椭圆相交，其中一个交点为M ． ⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆的一个顶点为(0,)B b -，直线2BF 交椭圆于另一点N ，求1F BN ∆的面积．20．（12分）已知抛物线方程24x y =，过点(,4)P t -作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ．⑴求证：直线AB 过定点(0,4)；⑵求OAB ∆（O 为坐标原点）面积的最小值．21 ．（12分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且1||PF =3|2|PF ．⑴求双曲线离心率e 的取值范围，并写出e 取得最大值时，双曲线的渐近线方程；⑵若点P的坐标为，且12PF PF •=0，求双曲线方程．22．（12分）已知O 为坐标原点，点F 、T 、M 、1P 满足OF =(1,0)，(1,)OT t =-，FM MT =，1PM ⊥FT ，1PT ∥OF ．⑴求当t 变化时，点1P 的轨迹方程；⑵若2P 是轨迹上不同于1P 的另一点，且存在非零实数λ使得12FP FP λ=， 求证：1211||||FP FP +=1.参考答案1A 提示：根据题意得222c a b =+=2m +=4，∴m =2，∴c e a ===．故选A ．2B 提示：2ABF ∆的周长=12||||AF AF ++12||||BF BF +=4a =16.故选B ． 3C 提示：根据题意得56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得a =3，b =2，∴c∴ce a ==3．4C 提示：∵P 是双曲线上的一点，且31||PF =42||PF ，1||PF －2||PF =2，解得1||PF =8，2||PF =6，又12||F F =2c =10，∴12PF F ∆是直角三角形，12PF F S ∆=1862⨯⨯=24.故选C ．5 D 提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点，||PM ≤1||PF +1，||PN ≥2||PF 2-，∴||||PM PN -≤1||PF +1—（2||PF 2-） =1||PF —2||PF +3=2a +3=9.6A 提示：设d 为点P 到准线1y =-的距离，F 为抛物线的焦点，由抛物线的定义及数形结合得，||||PA PM +=d －1+||PA =||PA +||PF －1≥||AF －1．故选A ．7C 提示：设圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆228120x y x +++=的圆心为1(4,0)O -，O '为动圆的圆心，r 为动圆的半径，则1||||O O O O ''-=(2)(1)r r +-+=1，所以根据双曲线的定义可知．故选C ．2题图8C 提示：设其中一个焦点为(,0)F c ，一条渐近线方程为by x a=，根据题意得||b c =2a ，化简得2b a =，∴e =c aC ． 9 B 提示：设2(,)P x x 为抛物线2y x =上任意一点，则点P到直线的距离为2d =2，∴当1x =时，距离最小，即点P (1,1)．故选B ．10 D 提示：由于22222b c b c bc a a +++⎛⎫= ⎪⎝⎭≤22222b c b c a +++=2，则b c a +， 又b c a +>，则b ca+＞1.故选D ． 11 C 提示：椭圆与抛物线开口向左．12 D 提示：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，结合抛物线的定义和相关性质，则AB的中点M 到y 轴的距离为122x x +=||||222p p AF BF -+-=||||2AF BF p +-，显然当AB 过焦点时，其值最小，即为12a －12p ．故选D ．二 填空题13 221412x y -= 提示：设双曲线方程为22221x y a b -=，∵2ce a ==，∴2c a =．∵12PF F S ∆=，∴1||PF ×2||PF =48.()22c =21||PF +22||PF -21||PF 2||PF 12cos F PF ∠，解得216c =，∴2a =4，2b =12.14 m p-提示：根据题意得1212||||||||PF PFPF PF⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1||PF=，2||PF=12||||PF PF•=m p-．1512提示：利用抛物线的定义可知4()2p--=174，p=12．163提示：根据题意得3a=，a=c=cea==3．三解答题17解：⑴因为焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，∴22221254a b cbca⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得8a=，6b=，10c=，∴双曲线的标准方程为2216436x y-=．⑵设以32y x=±为渐近线的双曲线的标准方程为2249x yλ-=，①当0λ>时，2=6，解得94λ=，此时所求的双曲线的标准方程为2218194x y-=；②当0λ<时，2=6，解得1λ=-，此时所求的双曲线的标准方程为22194y x-=．18解：⑴因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，∴||PB=||PQ，∴||||PA PB+=||PA+||PQ=||AQ=10；⑵由⑴知||||PA PB+=10（常数），又||||PA PB+=10＞6=||AB，∴点P的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中210,26a c ==，所以椭圆的轨迹方程为2212516x y +=． 19解：⑴∵l ⊥x轴，∴2F ，根据题意得22222112a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，∴所求椭圆的方程为：22142x y +=．⑵由⑴可知(0,B ，∴直线2BF的方程为y x =-22142y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得点N的纵坐标为3，∴1F BN S ∆=12F F N S ∆+12F BF S ∆=1)23⨯⨯=83．20解：⑴设切点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又12y x '=，则切线PA 的方程为：1111()2y y x x x -=-，即1112y x x y =-； 切线PB 的方程为：2221()2y y x x x -=-，即2212y x x y =-，又因为点(,4)P t -是切线PA 、PB 的交点，∴ 11142x t y -=-， 22142x t y -=-，∴过A 、B 两点的直线方程为142tx y -=-，即1402tx y -+=，∴直线AB 过定点(0,4)．⑵ 由214024tx y x y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，解得2216x tx --=0，∴122x x t +=，1216x x =-．∴OAB S ∆=1214||2x x ⨯⨯-16. 当且仅当0t =时，OAB ∆（O 为坐标原点）面积的最小值21解：⑴∵1||PF －2||PF =2a ，1||PF =3|2|PF ，∴1||PF =3a ，2||PF =a ， 由题意得1||PF +2||PF ≥12||F F ，∴4a ≥2c ，∴ca≤2，又因为1e >，∴双曲线离心率e 的取值范围为(1,2]．故双曲线离心率的最大值为2.⑵∵12PF PF •=0，∴21||PF +22||PF =24c ，即22104a c =，即2232b a =，又因为点P 在双曲线上，∴22160902525a b -=1，∴2216060a a -=1， 解得 24a =，26b =，∴所求双曲线方程为；2222x y a b-=1.22解⑴设1P (,)x y ，则由FM MT =得点M 是线段FT 中点，∴(0,)2t M ，则1PM =(,)2t x y --，又因为FT =(2,)t -，1PT =(1,)x t y ---，∵ 1PM ⊥FT ， ∴ 2()02tx t y +-=， ① ∵ 1PT ∥OF ，∴ (1)0()1x t y --•--•=0，即 t y = ② 由 ①和②消去参数得 24y x =．⑵证明：易知(1,0)F 是抛物线24y x =的焦点，由12FP FP λ=，得F 、1P 、2P 三点共线，即1P 2P 为过焦点F 的弦． ①当1P 2P 垂直于x 轴时，结论显然成立；②当1P 2P 不垂直于x 轴时，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，直线1P 2P 的方程为(1)y k x =-，∴24y kx k y x=-⎧⎨=⎩，整理得22222(2)0k x k x k -++=，∴12x x +=2224k k +，12x x =1， ∴1211||||FP FP +=121111x x +++=1212122()1x x x x x x +++++=1.。