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第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
x1
b11 c1 b12 c2
b c 1 ,n r n r
xr xr 1 xr 1
br 1 c1 c1 0 0 c2
br 2 c2 0 0
b c r ,n r n r 0 0
xn 0 0 0
根据上式求得通解，用 矩阵表示通解，并写成
x1
b11c1 b12 c2
b c 1,n r n r
证 A 1 2 A1 A 2 0 0 0
性质 2 若 x 1为齐次方程组 的解 ，k为实数，则 x k 1 也是 相应齐次线性方程组 的解 .
证： A（kξ1) k( Aξ1) k 0 0.
结论： AX 0的解向量 1, 2 , , t的线性组合
x k1 1 k2 2
kt t均是 AX 0的解（向量）。
0
0
第二步：仍然是写出与 A 对应的齐次线性方程组的同解方程组
x1
b x 11 r 1
b1,n r xn ,
xr
br 1 xr 1
br ,n r xn .
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
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第十一讲：方程组解的解构与向量空间
第三步 :自由变量取值 :由于 c1, cn r的任意性 ,原自由变量 的取值相当于对自由变 量向量组的取值 , 依次令
均可用 1, 2 , , t线性表示，即：
x k1 1 k2 2
kt t
4. 求AX=0的基础解系－－ AX＝0的通解：
事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程 组通解的方法：假定 AX=0,A的秩为 R(A)=r, 求解步骤如下
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
Байду номын сангаас
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第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
a a m1
m2
a mn
xn
则（ 1）式可写成向量方程 Ax = 0 （2）
x11
若 x1 11 , x2
,21 , xn
n1为（1）的解则 x 1
x21
称为方程组（ 1）的解向量， 它也是向量方程（ 2）的解 . xn1
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
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第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
2.解向量的性质 性质 1 若 x 1, x 2 为齐次方程组 的解 ，则x 1 2 也是 相应齐次方程组 的解 .
本次课讲第四章第四节第五节， 方程组解的结构与向量空间，
下次课讲第五章第一二节， 下次上课时交作业 P37～P40
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
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第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
二、齐次线性方程组解的结构： 1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理 齐次方程组 AX 0有唯一零解 R( A) n(n为解向量的维数）
xr 1
xi
xn r 0 1 0 ,其中 i r 1, ,n r .
xr 1
10
0
xr 2
0 ,
1 ,
0 ,,
xn
00
1
代入同解方程组依次可得：
x1
b11
b12
b1 ,n r
x2
b21 ,
b22 ,
,
b2 ,n r ,
xr
br 1
br 2
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
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第十一讲：方程组解的解构与向量空间
定理：设 n元齐次方程组 AX=0的系数矩阵的秩 R(A)=r ,解
集（解向量组）为 S,则R(S)=n-r
证：
1
0 b11
b1 ,n r
第一步：和以前一样，将 系数矩阵化成行最简形：
0 A~
0
1 br 1
br ,n r , 0
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
班级：
时间：
年 月 日；星期
教学目的
理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。 掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空 间的基的概念与求法
重点 难点 讲授方法
讲授内容 主线
基础解系及其求法、向量空间的基
方程组解的结构
媒体与投影
齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－ 非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－ 基与坐标－向量内积与长度。
内容概括
齐次方程组的基础解系由 n-r 个无关解向量组成， 非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线 性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算， 由施瓦茨不等式引出长度与正交。
作业
练习册 P37－ 40 第13题
至 第19题， 期 中交： P37 －40
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
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第十一讲：方程组解的解构与向量空间
b11
cn r
向量（列矩阵）的形式 为：
b12
b1(n r )
xr
br c1 1 br 2c2
xr 1
c1 0 0
b c r ,n r n r 0
br 1 c1 1
0
br 2 c2 0
1
br (n r )
cn r
1
0
xn
000
cn-r
0
0
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
0
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第十一讲：方程组解的解构与向量空间
化A 为行最简形矩阵 为
1
0 b11
b1,n r
0
A
0
1 br1
br ,n r , 0
0
与 A 对应的方程组的同解方程组为
x1
b x 11 r 1
0
b1,n r xn ,
令自由未知数
xr
br1 xr 1
br ,n r xn .
xr 1 c1 , xr 2 c2 , xn cn r 则：
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
3.AX=0的基础解系
定义：设 AX 0的全体解向量组成解集 （或解向量组） S，则 S中 的任一个最大无关组称 为 AX 0的一个基础解系。
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
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第十讲 向量组的秩与方程组解的结构
（1）由于基础解系是解集 的最大无关组，所以 AX 0的
基础解系不唯一
（2）由最大无关组定义， 设解向量 1 , 2 , , t为线性 方程组 AX 0的一个基础解系，则 AX 0的任意解 x
得到齐次方程组通解如 下：
x c1 1 c2 2
cn r n r （* ）
巧得很， AX=0的通解正好是 n-r 个解向量的线 性组合，如果这 n-r 个解向量就是解集的最大无 关组，我们就等于找到了 AX=0的基础解系。事实
上，我们有如下定理：
（ 2）定理：设 n元齐次方程组 AX=0的系数矩阵 的秩 R(A)=r , 解集（解向量组）为 S, 则R(S)=n-r
齐次方程组 AX 0有非零解（无穷多解） R( A) r n
2.解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a1n xn 0
a a 11
12
a1n
x1
a21 x1 a22 x2
a2n xn 0（1）设 A= a21 a22
a2n , x = x2 ,
am1 x1 am2 x2
amn xn 0