第5讲 空间向量及其运算
最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定 理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌 握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数 量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂 直.
精品课件
课堂总结
知识梳理
1．空间向量的有关概念
名称 零向量 单位向量 相等向量
点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则下 列向量中与B→M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c
B.12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
D.12a－12b＋c
精品课件
课堂总结
解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，
B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)
＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c. 答案 A
则A→D＝(－1，1，m－3)，B→C＝(－1，－2，1)，由A→D⊥B→C，
得A→D·B→C＝m－4＝0，∴m＝4，A→D＝(－1，1，1)，
|A→D|＝ 1＋1＋1＝ 3.
答案 C
精品课件
课堂总结
5．(人教A选修2－1P98A3改编)正四面体ABCD棱长为2，E，F 分别为BC，AD中点，则EF的长为________． 解析 |E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2 ＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋C→D·D→F)
→
MG.
解 O→G＝O→A＋A→G
＝O→A＋23A→N
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)
＝2，∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长为 2.
答案 2
精品课件
课堂总结
考点一 空间向量的线性运算
【例 1】 在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分 别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的
重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示O→G，
①结合律：(λa)·b＝λ__(_a_·__b_)__； ②交换律：a·b＝b_·__a__； ③分配律：a·(b＋c)＝a_·__b_＋_a_·__c_．
精品课件
课堂总结
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积 共线 垂直
模
a·b
相反向量
概念 模为_0_的向量 长度(模)为_1_的向量 方向_相__同__且模相等的向量
方向_相__反__且模_相__等___的向量
表示 0
a＝b a的相反向量 为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的 直线互相_平__行__或__重__合___
共面向量 平行于同一个_平__面__的向量
精品课件
精品课件
课堂总结
3．有下列命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb； ③若M→P＝xM→A＋yM→B，则 P，M，A，B 共面；
④若 P，M，A，B 共面，则M→P＝xM→A＋yM→B.
其中真命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
精品课件
课堂总结
解析 ①正确，②中若 a，b 共线，p 与 a 不共线， 则 p＝xa＋yb 就不成立．③正确．④中若 M，A，B
a＝λb(b≠0)
a·b＝0 (a≠0，b≠0)
|a|
a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__ __a_1_＝__λ__b_1，__a_2_＝__λ__b_2_，__a_3＝____
a_1b_1_＋__a_2_bλ_2_＋b_3_a_3b_3_＝__0__
__a_21_＋__a_22＋__a_23___
b_互__相__垂__直__，记作 a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则__|_a_|_|_b_|_c_o_s_〈_a_，__叫b〉做向 量a，b的数量积，记作_a_·__b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
______________．
精品课件
课堂总结
(2)空间向量数量积的运算律
夹角
〈a，b〉(a≠0， b≠0)
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
精品课件
课堂总结
诊断自测
1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
精彩
PPT展示
√
((21))若空间A，中B任，C意，两D非是零空向间量任a意，四b共点面，．则有A→B＋B→C＋C→D＋
共线，点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不
正确．
答案 B
精品课件
课堂总结
4．(2015·珠海模拟)已知 A(1，－1，3)，B(0，2，0)，C(－1，
0，1)，若点 D 在 z 轴上，且A→D⊥B→C，则|A→D|等于( )
A．1
B. 2
C. 3
D．2
解析 ∵点 D 在 z 轴上，∴可设 D 点坐标为(0，0，m)，
精品课件
课堂总结
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角 已知两个非零向量
a，b，在空间任取一点
O，作O→A＝a，
O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作_〈__a_，__b_〉_，
其范围是_0_≤__〈__a_，__b_〉__≤__π__，若〈a，b〉＝π2 ，则称 a 与
(
)
D→A＝0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( √)
(3)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若O→P＝
xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x，y，z∈R)，则 P，A，B，C 四
点共面．
(×)
× (4)两向量夹角的范围与精两品异课件面直线所成角的范围相同课堂．总结
2．如图所示，在平行六面体 ABCD－
A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交
a∥b
课堂总结
2. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)， a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝_λ__b__． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向 量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ __x_a_＋__y_b__． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那 么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝xa＋__y_b_＋__z_c____，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．