高二选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题1 抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A . 321=x B . 2=y C . 321=y D . 2-=y2.已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ,且12F F 是1PF 与2PF的等差中项,则动点P 的轨迹方程是 ( )A .221169x y += B .2211612x y += C .22143x y += D .22134x y += 1.已知向量a =(3,-2,1),b =(-2,4,0),则4a +2b 等于 ( ) A .(16,0,4)B .(8,-16,4)C .(8,16,4)D .(8,0,4)2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA →=a ,CB →=b ,CC 1→=c ,则A 1B →= ( )A .a +b -cB .a -b +cC .-a +b +cD .-a +b -c4.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是 ( ) A.OM →=2OA →-OB →-OC → B.OM →=15OA →+13OB →+12OC →C.MA →+MB →+MC →=0D.OM →+OA →+OB →+OC →=06.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,给出以下向量表达式:①(A 1D 1→-A 1A →)-AB →;②(BC →+ BB 1→)-D 1C 1→; ③(AD →-AB →)-2DD 1→;④(B 1D 1→+A 1A →)+DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④7.已知向量a =(1,-1,1),b =(-1,2,1),且k a -b 与a -3b 互相垂直,则k 的值是 A .1 B .15 C .35 D .-2098.若a =(2,-3,1),b =(2,0,3),c =(0,2,2),a ·(b +c )的值为 ( )A .4B .15C .7D .39.已知四边形ABCD 满足:AB →·BC →>0,BC →·CD →>0,CD →·DA →>0,DA →·AB →>0,则该四边形 为 ( )A .平行四边形B .梯形C .长方形D .空间四边形11. 如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →=a , AD →=b ,AA 1→=c ,则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A .-12a +12b +cB .12a +12b +cC .-12a -12b +cD .12a -12b +c11.已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,ΔABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为A .5B .2C .3D .2M 是椭圆221259x y +=上的点,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,1260F MF ∠=,则12F MF ∆ 的面积等于 .已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 . 14.已知向量a =(-1,2,3),b =(1,1,1),则向量a 在b 方向上的投影为________. 16.如果三点A (1,5,-2),B (2,4,1),C (a,3,b +2)共线,那么a -b =________. 19.已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以向量AB →,AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ;(2)若向量a 分别与向量AB →,AC →垂直,且|a |=3,求向量a 的坐标.21. 已知空间三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直,求k 的值.(本小题満分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3(。
(1) 求双曲线C 的方程;(2) 若直线l :2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>⋅OB OA (其中O 为原点),求k 的取值范围。
1.D 提示:4a +2b =4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).2. D 提示: A 1B →=A 1A →+AB →=-c +(b -a )=-a +b -c .3\ D 提示:向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角,经检验只有AC AB =12.4. C 提示:MA →+MB →+MC →=0,即MA →=-(MB →+MC →),所以M 与A 、B 、C 共面. 5\ 解析 C ∵a +b ,a -b 分别与a 、b 、2a 共面,∴它们分别与a +b ,a -b 均不 能构成一组基底.6. A 提示:①(A 1D 1→-A 1A →)-AB →=AD 1→-AB →=BD →1;②(BC →+BB 1→)-D 1C 1→=BC 1→-D 1C 1→=BD 1→;③(AD →-AB →)-2DD 1→=BD →-2DD 1→≠BD 1→;④(B 1D 1→+A 1A →)+DD 1→=B 1D →+DD 1→=B 1D 1→≠BD 1→,故选A.7. D 提示:∵k a -b =(k +1,-k -2,k -1),a -3b =(4,-7,-2),(k a -b )⊥(a -3b ),∴4(k +1)-7(-k -2)-2(k -1)=0,∴k =-209.8\解析 D ∵b +c =(2,2,5),∴a ·(b +c )=(2,-3,1)·(2,2,5)=3.9. 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角,但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°,这与已知条件矛盾,所以该四边形是一个空间四边形. 10. 解析 A OG 1→=OA →+AG 1→=OA →+23×12(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →-OA →)+(OC →-OA →)]=13(OA →+OB →+OC →),由OG =3GG 1知,OG →=34OG 1→=14(OA →+OB →+OC →),∴(x ,y ,z )=⎝⎛⎭⎫14,14,14.11\ A 解析 由图形知:BM →=BB 1→+B 1M →=AA 1→+12(AD →-AB →)=-12a +12b +c .12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合,故①是假命题;②中当a =0,b ≠0 时,找不到实数λ,使b =λa ,故②是假命题;可以证明③中A ,B ,C ,M 四点共 面,因为13OA →+13OB →+13OC →=OM →,等式两边同时加上MO →,则13(MO →+OA →)+13(MO →+OB →)+13(MO →+OC →)=0,即MA →+MB →+MC →=0,MA →=-MB →-MC →,则MA →与MB →,MC →共面,又M 是三个有向线段的公共点,故A ,B ,C ,M 四点共面,所以M 是△ABC 的重心,所以点M 在平面ABC 上,且在△ABC 的内部,故③是真命题.13. 解析 AB →=(3,4,5),AC →=(1,2,2),AD →=(9,14,16),设AD →=xAB →+yAC →.即(9,14,16)=(3x +y,4x +2y,5x +2y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =3,从而A 、B 、C 、D 四点共面.14.433 解析 向量a 在b 方向上的投影为:|a |·cos a ,b =14×-1+2+314×3=433. 15. 3 解析 因为OA →+AG →=OG →,OB →+BG →=OG →,OC →+CG →=OG →,且AG →+BG →+CG →=0, 所以OA →+OB →+OC →=3OG →.16. 1 解析:AB →=(1,-1,3),BC →=(a -2,-1,b +1),若使A 、B 、C 三点共线,须满 足BC →=λAB →,即(a -2,-1,b +1)=λ(1,-1,3),所以⎩⎪⎨⎪⎧a -2=λ,-1=-λ,b +1=3λ,解得a =3,b =2,所以a -b =1.17. 解析 (1)EF →·BA →=12BD →·BA →=12|BD →||BA →|cos 〈BD →,BA →〉=12cos 60°=14.(2)EF →·BD →=12BD →·BD →=12cos 0°=12.(3)EF →·DC →=12BD →·DC →=12|BD →||DC →|cos 〈BD →,DC →〉=12cos 120°=-14.18. 解析 ∵BC →=AC →-AB →,∴OA →·BC →=OA →·AC →-OA →·AB →=|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →,AC →〉-|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →,AB →〉 =8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=24-16 2. ∴cos 〈OA →,BC →〉=OA →·BC →|OA →|·|BC →|=24-1628×5=3-225.∴OA 与BC 夹角的余弦值为3-225.19. 解析 (1)∵AB →=(-2,-1,3),AC →=(1,-3,2),∴cos ∠BAC =AB →·AC →|AB →||AC →|=714×14=12,∴∠BAC =60°∴S =|AB →||AC →|sin 60°=7 3.(2)设a =(x ,y ,z ),则a ⊥AB →⇒-2x -y +3z =0, a ⊥AC →⇒x -3y +2z =0,|a |=3⇒x 2+y 2+z 2=3, 解得x =y =z =1或x =y =z =-1, ∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1).21. 解析 ∵A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),a =AB →,b =AC →,∴a =(1,1,0),b =(-1,0,2).(1) cos θ=a·b |a||b|=-1+0+02×5=-1010,∴a 与b 的夹角θ的余弦值为-1010. (2) ∵k a +b =k (1,1,0)+(-1,0,2)=(k -1,k,2), k a -2b =(k +2,k ,-4),且(k a +b )⊥(k a -2b ),∴(k -1,k,2)·(k +2,k ,-4)=(k -1)(k +2)+k 2-8=2k 2+k -10=0, 则k =-52或k =2.解:(Ⅰ)设双曲线方程为22221x y a b-= ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x (Ⅱ)将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得2222130,)36(13)36(1)0.k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B BA A y xB y x A ,则 229,,22,1313A B A BA B A B x x x x OA OB x x y y k k -+==⋅>+>--由得而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++22222937(1)2.131331k k k k k -+=++=---于是222237392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.3312<<k ②。