2018-2019学年度高二上学期数学（理）第一次月考试卷第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，总分60分）1．若直线l 1：mx ﹣3y ﹣2=0与直线l 2：（2﹣m ）x ﹣3y+5=0互相平行，则实数m 的值为 A ． 2 B ． ﹣1 C ． 1 D ． 02．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中1OA OB ==，则原平面图形的面积为（ ） A ． 1 B ． 2C ．32D ． 23．若变量x,y 满足约束条件{x +y ≤4x −y ≤2x ≥0,y ≥0 ，则3x +y 的最大值是( )A ． 2B ． 4C ． 6D ． 104．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=3，S 6=28S 3，则a 3=（ ） A ． 19B ． 13C ． 3D ． 96．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 47．在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知a −c =√66b ，sinB =√6sinC .则cosA 的值为（ ）A ． √63B ． √64C ． √33D ． √348．已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，且1)(=αf )3,0(πα∈，则=+)652cos(πα（ ）A ． 13B ． ±2√23C ． 2√23D ． −2√239．在ΔABC 中，E 为AC 上一点，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，P 为BE 上任一点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ (m >0,n >0)，则3m +1n 的最小值是（ ） A ． 9B ． 10C ． 11D ． 1210．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中E 为棱CC 1的中点，求异面直线AE 与A 1B 所成角的余弦值（ ） A ． -√26B ． √26C ． -√212D ． √21211．已知M ，N 是圆O:x 2+y 2=4上两点，点P(1,2)，且0=⋅PN PM ，则|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为（ ） A ． √5−1 B ． √5−√3 C ． √6−√3D ． √6−√212．在正四面体P −ABC 中，D,E,F 分别为AB,BC,CA 的中点，则下面四个结论中不成立．．．的是（ ） A ． 平面PDE ⊥平面ABC B ． BC ∥平面PDF C ． DF ⊥平面PAED ． 平面PAE ⊥平面ABC第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，总分20分）13.若不等式022>-+bx ax 的解集为），（41-2-，则a+b 的值为___________.14．平面向量a →与b →的夹角为60°，a →=（2，0），|b →|=1，则|a →+2b →|等于____________．15．已知圆C 的方程为(x −1)2+(y −2)2=4，点P (2,3)为圆C 内的一点，过点P (2,3)的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，当|AB |最小时，直线l 的方程为___________．16．空间有两个正方形ABCD 和ADEF 相交于AD ，M 、N 分别为BD 、AE 的中点．．，则以下结论中正确的是（填写所有正确结论对应的序号）①MN ⊥AD ； ②MN 与BF 的是对异面直线；③MN //平面ABF ④MN 与AB 的所成角为60°l m αl m ⊥m α⊂l α⊥l α⊥l m //m α⊥l α//m α⊂l m //l α//m α//l m //试卷第2页，总2页三、解答题（本题共6小题，总分70）17．（本小题10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6347S S a -=， 532a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .18．（本小题12分）已知圆22:4C x y +=. （1）求过定点()4,0M 的圆的切线方程；（2）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于,A B 两点，若23AB =，求直线l 的方程.19．（本小题10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E ，F ，M 分别为BC ，AD ，PD 的中点．（Ⅰ）求证：ME ∥平面PAB ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PAC20．（本小题12分）已知函数f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12.（1）求函数f(x)的对称轴；（2）在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若f(A)=1,a =3，ΔABC 的面积为2√3，求b +c 的值.21、在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，AC PAB PAD ,∠=∠交BD 于O . （1）求证：平面⊥PAC 平面PBD ；（2）延长BC 至G ，使CG BC =，连结DG PG ,.试在棱PA 上确定一点E ，使//PG 平面BDE ，并求此时EPAE的值.22.（本小题12分）已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C .（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0-作直线l 与圆C 交于,A B 两点， O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB 中OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.2018-2019学年度高二上学期数学（理）第一次月考试卷参考答案一、选择题1-5 CADBB 6-10 CBDDB 11-12 BA 二、填空题13．−13. 14．32 15．x+y-5=0 16．①③ 三、解答题17．解：（1） 0n a >，2634564417S S a a a q q a a -++==++= ∴2q =或3q =-（舍去）.-----------------------------------------------2分又 532a =，故5142a a q==，--------------------------------------------3分 所以数列{}n a 的通项公式为112n nn a a q -=⋅=.------------------------------4分 （2）由（Ⅰ）知2nn na n =⋅， ∴23222322n n T n =+⨯+⨯++⋅，①------------------------------------5分∴()2312222122n n n T n n +=+⨯++-⋅+⋅，②----------------------------6分②-①得()1322222n n n n T n +=⋅-++++，------------------------------8分∴()1122n n T n +=-⋅+.-------------------------------------------------10分18．解：（1）设切线方程在为()4y k x =-，即40kx y k --=.---------------1分23k =⇒=±,---------------------------------------4∴切线方程为)4y x =-.-------------------------------------------5分 (2)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为1x =，l 与圆的两个交点坐标为(和(1,，其距离为.----7分当直线l 不垂直于x 轴,设其直线方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=，设圆心到此直线距离为d ，则=1d =，--------------------8分又2211k d k -+==+.解得34k =， 所求直线方程为3450x y -+=.------------------------------------------11分 综上所述，所求所求直线方程为3450x y -+=或1x =.---------------------12分 19．(1)法1：取PA 中点N,连接BN ，MN -------------------------------------1分N M , 分别为PD,PA 中点AD MN 21//=∴----------------------------------2分中点、分别为、AD BC F E ，底面ABCD 为平行四边形AD BE 21//=∴,故N BE //M =---------------------4分 所以四边形BEMN 为平行四边形故ME//BN ------------------------------------------5分PABME PAB BN PAB ME 平面平面平面//,∴⊂⊄ ---------------------6分法2：中点、分别为、AD BC F E ，底面ABCD 为平行四边形AB EF //∴EFM AB EFM EF 平面平面⊄⊂,EFM AB 平面//∴--------------------------------------------2分EFMPA EFM PA EFM MF PAMF AD PD F M 平面平面平面中点，分别为//.,//,,∴⊄⊂∴ -------------------------------4分---------------------5分PABME EFM ME 平面平面//∴⊂ ---------------------------------------------------6分(2)证明：法1： 在平行四边形ABCD 中，︒=∠=135,BCD AC AB ，∴AC AB ⊥．EFM PAB A PA AB PAB AB PAB PA 平面平面且平面平面又//.,∴=⊂⊂ NF E 、分别为AD BC ,的中点，AB EF //∴，AC EF ⊥∴．侧面底面，且，∴底面．又 底面，∴． 又，平面，平面，∴平面． 法2: 侧面底面，且，∴底面．PAC PA 平面又⊂ ABCD PAC 平面平面⊥∴在平行四边形ABCD 中，︒=∠=135,BCD AC AB ， ∴AC AB ⊥．F E 、分别为AD BC ,的中点，AB EF //∴，AC EF ⊥∴．PACEF AC ABCD PAC 平面平面平面又⊥∴=20．解：（1）f(x)=√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6) 由2x −π6=π2+k π,k ∈Z 得x =π3+k π2,k ∈Z所以函数f(x)的对称轴为x =π3+k π2,k ∈Z .（2）∵f(A)=sin(2A −π6)=1∵A ∈(0,π)∴2A −π6∈(−π6,11π6) ∴2A −π6=π2∴A =π3∵ΔABC 的面积为2√3 ∴12bcsinA =√34bc =2√3 ∴bc =8由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA 得9=(b +c)2−2bc −bc =(b +c)2−24∴(b +c)2=33∴b +c =√3321解：（1）AB AD PAB PAD =∠=∠,PAB PAD ∆≅∆∴，得PD PB =O 为BD 中点，BD PO ⊥∴，底面ABCD 为菱形，⊥∴=⋂⊥∴BD O PO AC BD AC ,, 平面PAC ，⊂BD 平面∴，PBD 平面⊥PAC 平面PBD . （2）连接AG 交BD 于M ，在PAG ∆中，过M 作PG ME //交PA 于E ，连接ED 和EB ， ⊄PG 平面⊂ME BDE ,平面//,PG BDE ∴平面BDE21~,2,//==∴∆∆=BG AD GM AM BGM ADM AD BG BG AD ， 21,//==∴MG MA EP EA ME PG ，即21=EP AE . 22.解：(1)圆1C 化为标准为()2239x y ++=，设圆1C 的圆心()13,0C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(),C a b ，则11CC l k k =-， 且1CC 的中点3,22a b M -⎛⎫⎪⎝⎭在直线1:21l y x =+上，----2分 所以有()213{3102ba ba ⨯=-+--+=，解得： 1{2a b ==-，--------------------4分 所以圆C 的方程为()()22129x y -++=.------5分（2）法1：由OS OA OB BA =-=，所以四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥.要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB=，即： 12120x x y y +=. 设直线l 方程为1-=my x联立()()01)44()1(92112222=--++⎩⎨⎧=++--=y m y m y x my x 得 ()1,0-在圆C 内部，∴0∆>恒成立，11,144221221+-=+-=+m y y m m y y 12120x x y y +=0)1)(1(2121=+--∴y y my my 01)()1(21212=++-+y y m y y m 即01144-11)1(222=++-⋅+-+m m m m m 即10或解得：=m1:11:0=+-===y x l m x l m 时，当时，当存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交,A B 两点，且四边形OASB 对角线相等. -----------------------------12分法2：由OS OA OB BA =-=，所以四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥.要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB=，即： 12120x x y y +=. ①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆()()22:129C x y -++= 交于两点()2A-， ()1,2B -.因为()())()·11220OAOB=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件.--------------------7分 ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()1y k x =+. 设()()1122,,,A x y B x y 由()()⎩⎨⎧=++-+=921)1(22y x x k y 得： ()()22221242440k x k k x k k +++-++-=.由于点()1,0-在圆C 内部，所以0∆>恒成立，21222421k k x x k +-+=-+， 2122441k k x x k +-=+，-------------9分 要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB=，即12120x x y y +=， 也就是： ()()22122441101k k k x x k +-+++=+------------10分整理得：01242144)1(2222222=++-+-+-++k k k k k k k k k ------------11分解得： 1k =，所以直线l 的方程为1y x =+存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交,A B 两点，且四边形OASB 对角线相等. -----------------------------12分。