非 线 性 迭 代 实 验 报 告一、实验背景与实验目的迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。

蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。

本实验在Mathematica 平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic 映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。

二、实验材料2.1迭代序列与不动点给定实数域上光滑的实值函数)(x f 以及初值0x ，定义数列)(1n n x f x =+， ,2,1,0=n （2.2.1） }{n x 称为)(x f 的一个迭代序列。

函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数)(x f 的不动点。

对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。

运行下列Mathematica 程序：Clear[f]f[x_] := (25*x - 85)/(x + 3); （实验时需改变函数） Solve[f[x]==x , x] （求出函数的不动点）g1=Plot[f[x], {x, -10, 20}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction -> Identity];g2=Plot[x, {x, -10, 10}, PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0], DisplayFunction -> Identity]; x0=5.5; r = {};r0=Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, 0}, {x0, x0}}]}]; For[i = 1, i <= 100, i++,r=Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, x0},{x0, f[x0]}, {f[x0], f[x0]}}] }]]; x0=f[x0] ];Show[g1, g2, r, r0, PlotRange -> {-1, 20}, （PlotRange 控制图形上下范围） DisplayFunction -> $DisplayFunction] x[0]=x0;x[i_]:=f[x[i-1]]; （定义序列） t=Table[x[i],{i,1,10}]//N ListPlot[t] （散点图）观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？如果只需迭代n 次产生相应的序列，用下列Mathematica 程序： Iterate[f_,x0_,n_Integer]:=Module[{ t={},temp= x0},AppendTo[t,temp]; For[i=1,i <= n, i++,temp= f[temp]; AppendTo[t,temp]]; t ]f[x_]:= (x+ 2/x)/2; Iterate[f,0.7,10]设()x f 是一个定义在实数域上的实值函数，如果存在u 使得()u u f =，则称u 为()x f 的不动点。

我们用u u →表示这件事。

如果所有附近的点在选代过程中都趋向于某个不动点，则该不动点称为吸引点，有时也称该不动点是稳定的。

如果所有附近的点在选代过程中都远离它而去，则该不动点称为排斥点，有时也称该不动点是不稳定的。

如果21)(u u f =，32)(u u f =，…，1)(u u f k =且k j uu ji ,,2,1,=≠,则ku u u ,,,21 形成一个k 循环，用121u u u u k →→→→ 记这个事实。

1u 称为一个k 周期点，k u u u ,,,21 称为一个周期轨道。

显然，不动点就是周期为1的周期点。

类似于不动点，如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某个周期点，则该周期点称为吸引点；如果所有附近的点在迭代过程中都远离它而去，则该周期点称为排斥点。

如果点u 最终落于某个循环之中，则称它是一个预周期点。

例如，l 是1)(2-=x x f 的预周期点。

2.2 Logistic 映射与混沌从形如()()x ax x f -=1的二次函数开始做迭代()k k x f x =+1 ,1,0=k （2.2.2）这里，[]4,0∈a 是一个参数。

对不同的a 系统地观察迭代（2.2.2）的行为。

Mathematica 程序：IterGeo[a_, x0_] :=Module[{p1, p2, i, pointlist = {}, v= x0, fv= a*x0*(1 - x0)},p1=Plot[ {a*x*(1 - x), x}, {x, 0, 1}, DisplayFunction -> Identity]; AppendTo[pointlist, {x0, 0}];For[i = 1, i < 20, i++, AppendTo[pointlist, {v, fv}]; AppendTo[pointlist, {fv, fv}]; v= fv; fv= 4*v*(1 - v)];p2=ListPlot[pointlist, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity];Show[{p1, p2}, DisplayFunction -> $DisplayFunction] ]IterGeo[2.6, 0.3]将区间（0，4］以某个步长a ∆离散化，对每个离散的a 值做迭代（2.2.2），忽略前50个迭代值，而把点()51,x a ，()52,x a ，…，()100,x a 显示在坐标平面上，最后形成的图形称为Feigenbaum 图。

Mathematica 程序：Clear[f, a, x]; f[a_, x_] := a*x*(1 - x);x0 = 0.5; r = {}; Do[For[i = 1, i <= 300, i++, x0 = f[a, x0];If[i > 100, r = Append[r, {a, x0}]] ],{a, 3.0, 4.0, 0.01}]; ListPlot[r]从极限分支点之后，Feigenbaum 图显得很杂乱，似乎没有任何规律。

实际上，对任何初始值做迭代都会得到同样的结果。

这就是所谓的混沌现象。

迄今为止，混沌并没有确切的数学定义，但它具有一些基本的特性，如对初值的敏感性以及某种无序性，由此产生类似于随机的现象。

所谓一个迭代对初值是敏感的意思是，无论两个初值如何接近，在迭代过程中它们将渐渐分开。

这是任何一个混沌系统都具有的特性之一，这种特性使得混沌系统会产生似乎是随机的、没有规律的现象。

在Logistic 映射中，取4=a ，任取两个初值使得它们之间的差的绝对值不超过0.l ，运行下列程序，观察结果后回答问题：在迭代过程中它们逐渐分开吗？如果两个初值之间的差的绝对值不超过0.01，0.001，结果会如何？由此得出，函数()()x x x f -=14的迭代对初值是否敏感？其Mathematica 程序：Sensitivity[n_Integer, x01_, x02_] :=Module[{pilist = {}, i, temp1=x01, temp2=x02},For[i=1, i <= n, i++, temp1=4*temp1*(1-temp1); temp2=4*temp2*(1-temp2);AppendTo[pilist, {i, temp2-temp1}]; ];ListPlot[pilist, PlotJoined -> True] ]Sensitivity[50, 0.1, 0.1001]一个简单的、确定的二次选代可以产生非常复杂的、看似随机的行为。

但是，混沌不等于随机。

实际上，在混沌区域之内，蕴涵着许多有序的规律。

这正验证了哲学上的名言：有序中包含了无序，无序中包含着有序。

其Mathematica 程序：distrib[n_Integer,m_Integer,x0_]:=Module[{i,temp=x0,g1,f,k,c=Table[0,{i,m}]},For[i=1,in,i++,temp=4*temp*(1-temp);If[temp1,c[[m]]++,c[[Floor[temp*m]+1]]++]];f[k_]:=Graphics[{GrayLevel[0.5],Rectangle[{k-0.5,0},{k+0.5,c[[k]]}]}]; g1=Table[f[k],{k,1,m}];Show[g1,AxesTrue,PlotLabel->"x0=0.4"];]n=100;m=20;x0=0.4;distrib[n,m,x0]另一个说明混沌不是随机的事实是，混沌区域有许多有序的窗口。

将这些窗口放大可以看到令人振奋的自相似现象，同时还有许多周期轨道。

在 Feigenbaum 图的右部，你应当能看到一个由三条曲线穿过的空白带，它是一个“周期为 3的窗口”。

你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口跟上题的第二问中的k 周期轨道有什么关系？运行下列程序，听一听混沌的声音PlayChaos[n_Integer, x0_] :=Module[{t = {}, i, temp = x0},For[i = 1, i <= n, i++, temp = 4*temp*(1 - temp); AppendTo[t, Floor[temp*100]]];ListPlay[t, PlayRange -> {0, 100}, SampleRate -> 5] ]和函数()()x ax x f -=1一样有着混沌行为的函数还很多。

其中较简单的有“帐篷函数”和“锯齿函数”。

“帐篷函数”()x T 定义为()⎩⎨⎧≤<-≤≤=15.0225.002x xx xx T“锯齿函数”()x S 定义为 ()⎩⎨⎧≤<-≤≤=15.0125.002x x x x x S容易验证，帐篷函数和锯齿函数有下列关系： ()()()()10≤≤=x x S T x T T 令()2sin 2xx h π=，帐篷函数与()()x x x f -=14有下列关系：()()()()x T h x h f k k =2.3 方程求根对于代数方程g (x )=0，其根可用下列程序求得Solve[g(x)= = 0 , x]也可用下列程序求得g[x_]:=exprPlot[g[x],{x,a,b}]FindRoot[g(x)= = 0 , {x,x0}]将方程0)(=x g 改写为等价的方程)(x f x =，然后选取一初值利用(2.2.1)作迭代，迭代数列}{n x 收敛的极限就是方程0)(=x g 的解。