编号： 班级： 学号：姓名： 成绩：第1章 静电场1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度p ρ，总等于自由电荷体密度f ρ的 －（1－εε0）倍。

f ρ=⋅∇DE])[(E)(P 00εεεχρ-⋅-∇=⋅-∇=⋅-∇=e PfP ρεεεεερ)(D])[(001--=-⋅-∇=2. 有一内外半径分别为21和r r 的空心介质球，介质的介电常数为ε，使介质内均匀带静止自由电荷f ρ，求 （1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

解 1）由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。

电场方向沿径向 故：1r r<时0402==⎰dV r r fVερπ)E( 或 0=)E(r 21r r r <<时 球壳体内：dr r r D r ds rr f ⎰⎰⎰==⋅12244πρπ)(n D])([)(3113r r rr D f -=ρ ])([)()(310013rr rr D r E f -==ερε 在2r r>的球形外：)()(212202023441421r r dr r r E r r rf -==⎰ρεππρεπ )()(2122203r r rr E -=ερ 式中 r εεε0= 写在一起⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<<-<=)(r )()(r])([)(E 22122302131013130r r r r r r r r r r r r f ερερ2） r ])([)(E D P 310013rrf --=-=ερεεε f p ρεεερ0--=⋅-∇=P （与第一题相符） 内表面：013031101011=-=--⋅-=-⋅-===])([]E )[(n )p (p n 12r rr f r r r r p ερεεσ 外表面：2222100013022r r r rr r r p )()(E])([n )p (p n 12--=--⋅-=-⋅-===ερεεεεσ3. 证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折 满足：1212tan tan εεθθ= 式中1ε和2ε分别为两介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度0=f σ，故边值关系为：t t E E 12=,n n D D 12= （012=-⨯)E (E n ,f σ=-⋅)D (D n 12）若两种介质都是线性均匀的，即111E D ε=，222E D ε= ； 上边两式为:1122θθsin sin E E =，111222θεθεcos cos E E = 于是得：1212tan tan εεθθ=4. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。

证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。

静电情况下：0=1E ,0=1D由边值关系：012=-⨯)E (E n ,f σ=-⋅)D (D n 12 可得：t t E E 12=,f n n D D σ=-12 即，02=t E ，f n D σ=2 对于各向同性线性介质E D ε=所以，n E εσf= 即导体外的电场线垂直于导体表面1 导体2 绝缘体5. 如图1，有一厚度为a 2，电荷密度为0ρ的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。

解：以O 原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性， 电势分布仅与x 有关，即一维问题。

容易写出定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=)()(a x dx d a x dx d i i 01220022ϕρεϕa x =时 e i ϕϕ=xx ei ∂∂=∂∂ϕϕ 0=x 时 0=)(x i ϕ图1直接求解得202x i ερϕ-= )(a x a e --=220ερϕ6. 内半径a ，外半径为b 的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量Q ，试用分离变量法求空间电势分布。

解.根据球对称性，空间电势分布ϕ仅与r 有关，定结问题为：⎩⎨⎧>=∇<<=∇)()(b r b r a 002212ϕϕ01==a r ϕr=b 时 21ϕϕ= Q ds rr =∂∂-∂∂⎰)(2010ϕεϕε 02=∞→r ϕ求解得)(r ab Q -=1401πεϕ )(ba rQ -=1401πεϕ7. 均匀外电场中0E ，置入半径为0R 的导体球。

求以下两种情况的电势分布。

（1）导体球上接有电池，使球保持电势为0Φ；（2）导体球上带有总电荷Q 。

解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r 有关 1）ϕ的定解问题为⎪⎩⎪⎨⎧+-=Φ=>=∇∞→=0000200ϕθϕϕϕcos )(r E R r r R r此时0ϕ是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为230000000r R E r R r E θϕθϕϕcos )(cos +-Φ+-=2）ϕ的定解问题为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=∂∂Φ==∇⎰==00r 0020R R r Qds nεϕϕϕ)('待定类似解为23000004r R E r Qr E θπεθϕϕcos cos ++-=8. 介电常数为ε的无限均匀介质中，挖一个半径为a 的空球，球心处置一电矩为f p 的自由偶极子，试求空间电势分布。

解 如图建立球坐标系，f p 的方向为极轴x e 方向,ϕ的定解问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=∇<-=∇∞→001202r e e i a r a r ϕϕρεϕ)()(r=a 时，e i ϕϕ=；rr e i ∂∂=∂∂ϕεϕε0注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，i ϕ可写为：)(cos ][cos )(θπεθϕn n n n n n f i P r B r A r p 10204+-∞=∑++=第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故B n =0 解的电势分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⋅=<<+⋅--⋅=)()(r p )()(r p )(r p a r r a r a r f e f f i 303000302430224εεπϕεεπεεεπεϕ9．半径为R 的均匀介质球中心置一自由偶极子f p ，球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为1ε，球外为2ε）。

解：求解与上题类似，只需,,210εεεε→→ 得()()()030211213112424R r Rr<+⋅-+⋅=εεπεεεπεϕrp r p f f ，()()03212243R r r ≥+⋅=εεπϕrp f ，极化电荷分布，在介质球内f p ρεερ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01 因此在球心处有一极化电偶极矩f p p ⎪⎭⎫⎝⎛--=εε01， 在0R r =的界面上，由()12p p p n σ-⋅-=，()ϕεε∇-=0p 可得，()()()()302112102101012022230R p r rr r f R r R r p εεπεθεεεϕϕεϕεεϕεεσ+-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--∂∂-===cos10. 两个接地的无限大导电平面，其夹角为︒60，点电荷Q 位于这个两面角的平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为α。

试用电像法求真空中的电势。

解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q 位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：（1）首先考虑半面'ON ，为了满足'ON 平面的电势为零，应在Q 关于'ON对称的位置B 处有一像电荷-Q , （2）考虑半面ON ，同样为了满足电势为零的要求，对于A 、B 处两个点电荷+Q 和-Q ，应在A 、B 关于ON 对称的位置C 、D 处有两个-Q 、+Q ，（3）再考虑'ON 半平面，对于C 、D 处的-Q 和+Q ，应在E 、F 处有两个像电荷+Q 和-Q 才能使导体'ON 的电势为零。

可以证明E 、F 处的两个点电荷+Q 和-Q 关于ON 平面对称，因而可满足ON 平面的电势为零，这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P 处的电势可表为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=654321041r Q r Q r Q r Q r Q r Q x πεϕ， 其中621r r r ,,, 分别为给定电荷Q 及其像电荷到P 点的距离。

在其余空间的电势为0=ϕ。

-Q11. 接地空心导体球，内外半径为1R 和2R ，球内离球心a 处（1R a <）置一点电荷Q ，试用电像法求空间电势分布。

导体上感应电荷分布在内表面还是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量0Q ，则电势分布又如何？若导体球壳具有确定的电势0ϕ，电势分布如何？ 解：根据题意设球内区域电势为1ϕ，球外区域电势为2ϕ，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∇--=∇∴==00212122012R R R R z y a x Q ϕϕϕδεϕ,,， 设像电荷位置如图所示，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=''rQ r Q 0141πεϕ 其中()()122212222θθcos ,cos 'Rb b R r Ra a R r -+=-+=由边界条件011==R R ϕ()()θθcos cos 'a R a R Q b R b R Q 122121221222-+=-+ ()()()θcos ''a Q b Q R b R Q b R Q 221221222122-=+-+要使上式对任意θ成立，必有()()()⎩⎨⎧=-=+-+02022122122212a Q b Q R b R Q b R Q ''（*） ()0212122=++-∴R R a ab b 解得a b aR b ==2211,，（舍去） 代入（*），得Q aR Q Q a R Q 1211=-=''， Q aRQ a R b 121-==∴,,由上可知，2041R Q Q +=πεϕ'，()()()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-+--+=20021212212121220412241R Q Q a R R a RR aQR Ra a R Q πεθθπεϕcos ///cos 若使有确定0ϕ，且两种情况有相同解20041R Q Q +=πεϕ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+=θθπεϕcos /cos a R R a R R a QR Ra a R Q 21241212202241， 由边界条件σϕεϕε-=∂∂-∂∂nn 1122所以，外表面感应电荷面密度0201=∂∂==R R Rϕεσ，内表面感应电荷面密度()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=∂∂==231221122102241θπϕεσcos a R a R R a R Q R R R ， 总感应电荷Q ds Q s-==⎰2σ感应，（可见全部在内表面上）12. 四个点电荷，两个＋q ，两个－q ，分别处于边长为a 的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。