湖北省孝感高级中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（文科）试题考试时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 先后抛掷一枚硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是A ．81B ．83 C ．85 D ．87 2． “q p ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．与椭圆1121622=+y x 共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是A ．1322=-y xB ．1322=-y x C ．1834322=-y x D ．1834322=-x y 4． 在某次选拔比赛中, 六位评委为B A ,两位选手打出分数的茎叶图如图所示(其中x 为数字0～9中的一个), 分别去掉一个最高分和一个最低分, B A ,两位选手得分的平均数分别为b a ,, 则一定有A ．b a >B ．b a <C ．b a =D ．b a ,的大小关系不能确定5． 若曲线b ax x y ++=2在点(0, b )处的切线方程是01=+-y x , 则A ．1,1==b aB ．1,1=-=b aC ．1,1-==b aD ．1,1-=-=b a6． 某射手的一次射击中, 射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1, 则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为 A ．9.0B ．6.0C ．5.0D ．3.07． 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是 A ．680 B ．320C ．0.68D ．0.328． 过原点且倾斜角为o60的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为A ．3B ．2C ．6D ．329． 已知21,F F 是椭圆的两个焦点, 过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点, 若△2ABF 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为A ．22B ．32 C ．33 D ．23 10．设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数, '()f x 为其导函数. 当0>x 时,0)(')(>⋅+x f x x f , 且0)1(=f , 则不等式0)(>⋅x f x 的解集为A ．)1,0()0,1(⋃-B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)1,0()1,(⋃--∞二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）11．命题1sin ,:≤∈∀x R x p 的否定p ⌝是 .12．已知3()2=+-f x x ax 在),1(+∞上是增函数, 则实数a 的取值范围是 .13．已知抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合, 则p 的值为 . 14．某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 抽到的32人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B 的人数为 .15．为鼓励中青年教师参加篮球运动, 校工会组织了100名中青年教师进行投篮活动, 每人投10次, 投中情况绘成频率分布直方图(如图), 则这100 名教师投中6至8个球的人数为 .16．一个车间为了规定工作定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收集数据如下:零件数x (个) 10 20 30 40 50 加工时间y (分钟)6469758290由表中数据, 求得线性回归方程a x yˆ65.0ˆ+=, 根据回归方程, 预测加工70个零件所花费的时间为 分钟.17．已知函数)(x f 的自变量取值区间为A , 若其值域也为A , 则称区间A 为)(x f 的保值区间. 若函数x m x x g ln )(-+=的保值区间是),21[+∞, 则m 的值为 .三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（12分）已知直线062:1=++y ax l 和01)1(:22=-+-+a y a x l .（1）若21l l ⊥, 求实数a 的值; （2）若21//l l , 求实数a 的值. 19．（12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p 命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.20．（13分）设有关x 的一元二次方程046922=+-+b ax x .（1）若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;（2）若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.21．（14分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f , 记)(x f 的导函数为)('x f .（1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率为3,且)(x f 在32=x 处取得极值，求函数)(x f 的解析式;（2）在(1)的条件下, 求函数)(x f 在]1,4[-上的最大值和最小值.22．（14分）如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)23,1(P , 离心率21=e , 直线l的方程为4=x . （1）求椭圆C 的方程;（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ), 设直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA 、PB 、PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k . 问: 是否存在常数λ, 使得321k k k λ=+? 若存在, 求λ的值; 若不存在, 请说明理由.孝感高中2014—2015学年度高二上学期期末考试数学（文科）试题答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DAABACDDCB11. 00,sin 1∃∈>x R x 12. ),3[+∞- 13. 4 14. 1015. 3016. 10217.21-三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. （12分）已知直线062:1=++y ax l 和01)1(:22=-+-+a y a x l . (1) 若21l l ⊥, 求实数a 的值;(2) 若21//l l , 求实数a 的值.解: (1) 若21l l ⊥, 则.320)1(21=⇒=-+⨯a a a ................6分 (2) 若21//l l , 则(1)1201 2.a a a ⋅--⨯=⇒=-或.....................10分经检验, 2a =时, 1l 与2l 重合. 1-=a 时, 符合条件.∴ .1-=a ....................................................12分19. （12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.解: .1)(min 2=≤⇔x a p ……………………………………………………3分.210)2(442≥-≤⇔≥+-=∆⇔a a a a q 或……………………………6分∵“p 或q ”为真命题，∴p 、q 中至少有一个真命题………………………8分 即1≤a 或1 2.≤-≥或a a ………………………………………………………10分 1⇒≤a 或 2.≥a∴“q p 或”是真命题时, 实数a 的取值范围是).,2[]1,(+∞⋃-∞………12分20. （13分）设有关x 的一元二次方程046922=+-+b ax x .(1) 若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率;(2) 若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.解: (1) 由题意, 知基本事件共有9个, 可用有序实数对表示为(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2),其中第一个表示a 的取值, 第二个表示b 的取值......................................2分 由方程046922=+-+b ax x 的40)4(36362222≥+⇒≥+--=∆b a b a ..........................4分∴方程046922=+-+b ax x 有实根包含7个基本事件, 即(1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0),(3, 1), (3, 2).∴此时方程046922=+-+b ax x 有实根的概率为.97.................6分(2) b a ,的取值所构成的区域如图所示, 其中.20,30≤≤≤≤b a ........8分∴构成“方程046922=+-+b ax x 有实根”这一事件的区域为{}20,30,4|),(22≤≤≤≤≥+b a b ab a (图中阴影部分).∴此时所求概率为.6132241322ππ-=⨯⨯⨯-⨯....................13分21.（14分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f , 记)(x f 的导函数为)('x f . (1) 若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率为3,且)(x f 在32=x 处取得极值，求函数)(x f 的解析式;(2) 在(1)的条件下, 求函数)(x f 在]1,4[-上的最大值和最小值. 解: (1) .23)('2b ax x x f ++=………………………………….…………….1分 依题意, ,0)32(',3)1('==f f ……………………………….……………….3分即⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=++034)32(33232b a b a , 解得⎩⎨⎧-==.42b a ………………………………..….5分 .542)(23+-+=∴x x x x f ………………………………………………..….6分(2) 由(1)知, ).32)(2(3443)('2-+=-+=x x x x x f ……………….…..….7分 令0)('=x f , 得.32,221=-=x x ……………………………………………9分 当x 变化时, )('),(x f x f 的变化情况如下表:x4-(4,2)--2-)32,2(- 32 )1,32( 1)('x f+-+)(x f11-↗极大值13↘极小值2795 ↗4)(x f ∴在]1,4[-上的最大值为13, 最小值为-11. …………………………14分22. 如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)23,1(P , 离心率21=e , 直线l 的方程为4=x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ), 设直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA 、PB 、PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k . 问: 是否存在常数λ, 使得321k k k λ=+? 若存在, 求λ的值; 若不存在, 请说明理由.解: (1) 由)23,1(P 在椭圆上, 得,149122=+b a ……………①.又,21==a c e 得,3,42222c b c a ==……………………..②由①②, 得.3,4,1222===b a c故椭圆C 的方程为.13422=+y x ………………………………………………5分 (2) 设直线AB 的方程为),(),,(),1(2211y x B y x A x k y -=,由.01248)34(.134)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 34124,34822212221+-=+=+∴k k x x k k x x …………………………7分123)1(123)1(1223123221121121---+---=--+--=+∴x x k x x k x y x y k k 1)(2232)1111(23221212121++--+⋅-=-+--=x x x x x x k x x k .121348341242348232222222-=++-+--+⋅-=k k kk k k k k ………………………………10分 又将4=x 代入)1(-=x k y 得),3,4(k M2132333-=-=∴k k k ,……………………………………………,,…………12分.2321k k k =+∴故存在常数2=λ符合题意. ……………………………………………………14分。