第五章 数理统计的基本知识一、选择1. 设n X X X ,,,21 独立且服从同一分布),(2σμN ，X 是样本均值，记()∑=--=n i iX X n S 122111，()∑=-=n i i X X n S 12221，()∑=--=ni i X n S 122311μ，()∑=-=n i i X n S 12241μ，则下列服从)1(-n t 的是 ( A ).（A ）n S X t 1μ-=（B ）n S X t 2μ-= （C ）n S X t 3μ-= （D ）nS X t 4μ-=(A))(2n χ (B) )1(2-n χ (C) )1(-n t (D) )(n t3. 设总体)4,2(~2N X ,n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,则下面结果正确的 是（ D ）(A))1,0(~42N X - (B))1,0(~162N X - (C))1,0(~22N X - (D))1,0(~42N nX -二、填空1.已知某总体X 的样本值为99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，则样本均值X = 99.93 ，样本方差2S = 1.43 . 2.设总体)4,(~μN X ,1220,,,X X X 为取自总体X 的一个容量为20的样本,则概率2021P[46.8()154.4]i i X X =≤-≤∑= 0.895 .3.从总体(63,49)N 中抽取容量为16的样本,则P[60]X ≤= 0.0436 .2. 设总体),(~2σμN X , 则统计量~)(11222∑=-=ni i X X σχ（B ）2三、计算题1.设总体2~(,)X N μσ,1216,,,X X X 为取自总体X 的一个容量为16的样本,样本均方差S =2.309,求概率)4.0|(|<-μX P . 解 由题意知X t =t(n 1)- n 15=X t =～t(15) P[0.4]X μ-〈= = P[t 0.692]〈= 1-2P[t 0.692]≥= 1-2⨯0.25 =0.5第六章 参数估计第一节 参数的点估计一、选择1. 以样本的矩作为相应（同类、同阶）总体矩的估计方法称为（A ）. (A) 矩估计法 (B) 一阶原点矩法 (C) 贝叶斯法 (D) 最大似然法2. 总体均值)(X E 的矩估计值是（A ）.（A ）x （B ）X （C ）1x （D ）1X二、填空1.设总体X 服从泊松分布)(λP ，其中0>λ为未知参数.如果取得样本观测值为n x x x ,,,21 ，则参数λ的最大似然估计值为 x .2.设总体X 在区间[]θ,0上服从均匀分布，其中0>θ为未知参数.如果取得样本观测值为概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 页3 n x x x ,,,21 ，则参数θ的矩估计值为 2 x . 三、计算题1. 设总体X 服从“0-1”分布： .1,0,)1();(1=-=-x p p p x p x x 如果取得样本观测值为)10(,,,21或=i n x x x x ，求参数p 的矩估计值与最大似然估计值. 解：由已知可得p X E X v ==)()(1，所以x x n p ni i ==∑=11由此可得参数的矩估计值为x p=ˆ. 似然函数为∑-∑=-===-=-∏ni ini iiix n x ni x x p pp pp L 11)1())1(()(11取对数，得).1ln()(ln )()(ln 11p x n p x p L ni ini i--+=∑∑==于是，得0)(111)(ln 11=---=∑∑==ni i n i i x n p x p dp p L d .由此可得参数的最大似然估计值为x p=ˆ 第二节 衡量点估计好坏的标准一、填空1.设),,(ˆˆ2111n X X X θθ=与),,(ˆˆ2122n X X X θθ=都是参数θ的无偏估计量，如果)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效. 2.设总体X 的均值μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则X 是总体均值的无偏的、有效的、一致的估计量， 2S 是总体方差的无偏的、有效的、一致的估计量.第三节 正态总体参数的区间估计一、选择1. 若总体),(~2σμN X ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度α-1变4小，则μ的置信区间（B ）.(A)长度变大 (B)长度变小 （C ）长度不变 (D)长度不一定不变2.设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>)(u X P .若α=<)(x X P ，则x 等于（C ）.（A ）2αu (B)21α-u(C)21α-u (D)α-1u3. 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值cm x 20=，样本标准差cm s 1=，则μ的置信度为90.0的置信区间是（C ）. (A)))16(4120),16(4120(05.005.0t t +- (B)))16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C)))15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D)))15(4120),15(4120(1.01.0t t +- 二、填空1. 设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为α-1的置信区间为)).1(),1((22-+--n t nS X n t nS X αα2. 由来自正态总体)9.0,(~2μN X ，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值5=x ，则未知参数μ的置信度为95.0的置信区间为).15.20,87.19(3. 已知一批零件的长度X 服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得平均长度为cm 40，则μ的置信度为95.0的置信区间为).49.40,51.39(三、计算题1. 为了解灯泡使用时数均值μ及标准差σ，测量了10个灯泡，得1650=x 小时，20s =小时.如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求μ和σ的95.0的置信区间.概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 页5 解: 由262.2)9()1(025.02==-t n t α，根据求置信区间的公式得22((1), (1))(165020)(165014.31)(1635.69, 1664.31)x n x n αα-+-=±=±= 查表知70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.02212025.022==-==--χχχχααn n ，根据求置信区间的公式得2σ的置信区间为2222220.0250.975(1)(1)920920(, )(, )(189.24, 1333.33)(9)(9)19.023 2.70n s n s χχ--⨯⨯==而σ的置信区间为(13.8, 36.5)=第七章 假设检验第一节 假设检验的基本概念一、选择1. 在假设检验中,作出拒绝假设0H 的决策时,则可能（A ）错误.（A ）犯第一类 （B ）犯第二类 （C ）犯第一类,也可能犯第二类 （D ）不犯2. 对正态总体μ的数学期望进行假设检验，如果在显著性水平05.0下接受00:μμ=H ，那么在显著性水平01.0下，下列结论中正确的是（A ）. （A ）必接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H3. 在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示备择假设，则犯第一类错误的情况为（ B ） . （A ）1H 真，接受1H （B ）1H 不真，接受1H （C ）1H 真，拒绝1H （D ）1H 不真，拒绝1H第二节 正态总体参数的假设检验一、计算题61. 机器包装食盐，每袋净重量X （单位：g ）服从正态分布，规定每袋净重量为500（g ）.某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为： 497 507 510 475 484 488 524 491 515 以显著性水平05.0=α检验这天包装机工作是否正常？ 解：设0H ：500=μ； 1H ：500≠μ 由于2σ未知，选统计量)1(~0--=n t nSX t μ对显著性水平05.0=α，查表得31.2)8()1(025.02==-t n t α。

由样本值计算得499=x ，2572=s ，03.16=s)1(31.2187.0303.165004992-=<≈-=n t t α接受0H ，认为每袋平均重量为500)(g .第五、六、七章 练习题1.设总体2~(1,0.2)X N ,n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,要使样本均值X 满足不等式P[0.9 1.1]0.95X ≤≤≥，则样本均值n 最少应取多少？ 解 由题意知 X ～0.04N(1,)n故 P[0.9X 1.1]≤≤=Φ-Φ=210.95Φ-≥即0.975Φ≥，1.96≥ ，n 15.3664≥ 因此样本容量n 最少应取为16.概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 页7 2.设总体X 的概率密度为：,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求参数θ的矩估计值和最大似然估计值. 解 ：,0dx xe EX x ⎰+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1,1,===则00111()0()u uu EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰=θ1 故1EXθ=，所以x 1ˆ=θ3. 设总体X 服从几何分布.,3,2,1,)1();(1 =-=-x p p p x p x 如果取得样本观测值为n x x x ,,,21 ，求参数p 的矩估计值与最大似然估计值.解：由已知可得p X E X v 1)()(1==，所以x x n p ni i ==∑=111由此可得参数的矩估计值为xp1ˆ=. 似然函数为nx nni x ni i i p p p p p L -=-∑-=-==∏1)1())1(()(11取对数，得).1ln()(ln )(ln 1p n xp n p L ni i--+=∑=于是，得0)(11)(ln 1=---=∑=ni i n x p p n dp p L d .由此可得参数的最大似然估计值为x p1ˆ=. 4.设1ˆθ和2ˆθ为参数θ的两个独立的无偏估计量，且假定21ˆ2ˆθθD D =，求常数c 和d ，使21ˆˆˆθθθd c +=为θ的无偏估计，并使方差θˆD 最小. 解： 由于θθθθθθ)(ˆˆ)ˆˆ(ˆ2121d c dE cE d c E E +=+=+=,且知θθ=ˆE ，故得c+d=1。