因为碰撞步只涉及局部计算，写成矢量形式


上式两端乘以变换矩阵M，得 其中， eq Mf m
m m S m meq
eq


为矩空间的平衡态函数
S MΛΛ 1 diag(s1, s2 ,, sb )
13.2 MRT模型
以标准D2Q9模型为例： 变换矩阵：
1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 2 2 4 2 2 2 2 1 1 1 0 1 0 1 1 0 M 0 2 0 2 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 2 0 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
特点：
• 用不同颜色区分不同相态的流体；
• 不同流体之间的相互作用通过引入颜色梯度来实现，并根据它 来调整流体粒子的运动趋势，实现流体的分离或混和。
13.3.1 颜色模型
以两相流为例：
引入两个分布函数 f ri 和f bi ，分别表示红色相和蓝色相流体。混和
流体的分布函数 f i f ri fbi 的演化方程为
D2Q9模型----Poiseuille flow
压力入口 压力出口
13.2 MRT模型
多松弛模型和单松弛模型的主要区别在于它的碰撞过程包含多个松弛
时间（Multiple-Relaxation-Time）。
fi x eit, t t fi x, t ij f j x, t f j
fi x eit, t t fi x, t ic ip
而 p 表示界面张力引起的扰动。 i 每相和混和流体的宏观流动变量为
（ .3.1 13 ）
其中，ic 表示由流体粒子之间碰撞引起变化，可以用BGK模拟，
k f ki ,
i
k uk ei f ki ,
13.1 LBGK模型
DnQb模型
D1Q3:
2 3, ei2 0 c e c[0,1,1], cs , wi 3 1 6, ei2 c 2
x c t
格子速度
D1Q5:
1 2, ei2 0 e c[0,1,2], cs c, wi 1 6, ei2 c 2 1 12, ei2 4c 2
2 s
其中：
1 c 3
2 s
13.3 多相和多组分模型
Single Phase
(No Interaction)
Single Component Multiphase
Attractive
Number of Components
Multi- Component Multiphase Miscible Fluids/Diffusion
13.1 LBGK模型
DnQb模型
D3Q15:
0 1 - 1 0 0 0 0 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 1 e c 0 0 0 1 - 1 0 0 1 - 1 1 - 1 - 1 1 1 - 1 0 0 0 0 0 1 - 1 1 - 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1
DnQb模型
平衡态分布函数:
ei u ei u2 u2 f i eq x wi (x) 1 2 2 4 cs 2cs 2cs
其中，wi 为权系数，s RT 为格子声速。 c
这两个参数是决定 LBGK 模型的关键参数，其取值依赖于选用的格 子类型。
自由能模型（Free energy model）
基于动理学理论的 LBM 模型
13.3.1 颜色模型
• • • Gunstensen 等人于1991年提出的第一个多组分多相模型。 基于 Rothman 和 keller 提出的 LGA 两相流模型。 Grunau 等又将此模型推广到密度和粘性变化的两相流系统中。
ChapmanEnskog回归
本章重点；LBM基本模型
单相模型(D2Q9模型) 多相和多组分模型 （SC模型）
LBGK方程
根据不同的划分规则，LBM 的模型包括： 不同的松弛时间 单松弛(LBGK)模型 多松弛(MRT)模型
多相，多组分?
单组分单相模型
多组分多相模型
温度是否变化?
等温模型
非等温模型
Note：
13.1 LBGK模型
DnQb模型
实际上, LBGK 方法势求解不可压 N-S 方程的一种人工压缩方法。 对于宏观物理量，可由以下方程得到
密度： 速度： 压力：
运动粘度：
f ufe

i i i 2 p cs
i i

2 v cs 0.5t
13.1 LBGK模型
2 9, ei2 0 c cs , wi 1 9, ei2 c 2 3 1 72, ei2 3c 2
13.1 LBGK模型
DnQb模型
0 1 - 1 0 0 0 0 1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 1 0 0 0 0 e c 0 0 0 1 - 1 0 0 1 1 - 1 - 1 0 0 0 0 1 - 1 - 1 1 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 1 1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1
缺点：
公式复杂，计算量较大。
13.2 MRT模型
上式描述了离散速度分布函数 f x, t f1 x, t , f 2 x, t ,, fb x, t , 在速度空间 R b的时空演化过程。 定义b个矩， mk f k ,
T
k 1,2, ,b
其中，k 1，2， ，b 是粒子速度 ci (i 1,2,, b) 的多项式函数， 且线性无关。
通过 b 个 b 维基向量
Μ mi : i 1,2,, b 之间的关系，即
1
k ，可以建立速度空间 R b 和矩空间
m Mf, f M m
, 其中， Μ是由 k : k 1,2,, b确定的变换矩阵
Μ 1,2 ,,b
T
即，
13.2 MRT模型
DnQb模型
伪不可压模型
LBGK模型 单松弛模型
DnGb模型 不可压模型
13.1 LBGK模型
DnQb模型
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱe6
2
e2
5
e5
e1 e8
Histogram view of the distribution function, f.
f6 f3 f7 f2 f5
3
e3
0
e4
1
f0
7
e7
f8
f1
4
8
f4 f f1 f2 f4 f3 f5 f6 f7 f8 a
1 2 3 4 5 6 7 8
13.1 LBGK模型
DnQb模型
碰撞过程：
~ 1 eq f i x, t f i x, t f i x, t f i x, t
迁移过程：


~ f i x eit, t t f i x, t
13.1 LBGK模型
0,0 , i0 e i ccos i , sin i , i i 1 / 2, i 1~ 4 2ccos i , sin i , i i 5 / 2 / 4, i 5 ~ 8 4 9, ei2 0 c cs , wi 1 9, ei2 c 2 3 1 36, ei2 2c 2
相变传热与流体流动数值分析(第11-14讲)
格子Boltzmann方法 Lattice Boltzmann Method
主要内容
13.1 13.2 13.3 13.4 LBGK模型 MRT模型 多相和多组分模型 LBM热模型概述
上章回忆；理论推导
连续Boltzmann方程 BGK近似 泰勒级数 展开
T
1 2 1 1 1 1 1 0 1
1 2 1 1 1 1 1 0 1
对应的矩为
m ρ,e,ε,jx ,qx ,jy ,qy ,pxx ,pxy
2 2
矩空间的平衡态
m
eq
ρ 1, 2 3u , u , u x , u x ,u y , u y ,u u ,ux u y
(No Interaction)
Immiscible Fluids
Nature of Interaction
Repulsive
Interaction Strength
13.3 多相和多组分模型
颜色模型（Chromodynamics model）
伪势模型（SC model，pseudo-potential model)
13.1 LBGK模型
DnQb模型
D2Q7:
i0 (0,0) ei c(cos i , sin i ), i (i 1) 3 , i 1,2, 6 2 3, ei2 0 c cs , wi 2 1 12, ei2 c 2
D2Q9:
D3Q19:
1 3, ei2 0 c cs , wi 1 18, ei2 c 2 3 1 36, ei2 2c 2
13.1 LBGK模型
DnQb模型
D2Q9: D3Q19:
13.1 LBGK模型
DnQb模型
通过和 Chapman-Enskog 展开方法类似的多尺度分析方法，对演化
i
ip A G cos(2i )
其中： i为ei与G之间的夹角 ，A是控制表面张力 的参数，而 ~ A
13.1 LBGK模型
格子 Boltzmann-BGK（LBGK）模型的演化方程：