∑ ∫ ∑ 对于梁和刚架
∫
MM EI
P
ds
∆kP =
=
1 EI
∫
MM Pdx
y
=
1 EI
∫
xtgα
⋅
M
P dx
MM Pds = ω yC
EI
EI
面积 ω
图乘法的
应用条件
MP
C MP图 （1）等截面
A dx B
直 杆，EI
=
tgα EI
∫
xM
P dx
=
tgα EI
⋅ω
⋅
xc
O
= ωyc
EI
α
M
xA
xC
y3
∫ MPM dx = ω 1y1 + ω 2 y2 + ω 3y3
EI
E1I1 E2I2 E3I3
∑ = ω j yj EjI j
例
1.
设
EI
为常数，求
∆ Cy
。
C点左移或右移， 求C点线位移时
解：作荷载内力图和单位荷载内力图如何图乘？
q A
1 ql 2
MP 图 8
P=1 C A
l
M图 4
q
A B
Pl/2
− 1 × l × 3l × Pl 2EI 2 4
= Pl3 ( ↓ )
16EI
C EI B
l
l/2
EI P
Pl/4 A
l
2EI
D
MP图
Pl
l
1 M图
例3.
已知
EI
为常数，求
∆ Cy
。
解：作荷载和单位荷载的内力图
∆ Cy
=
1 EI
[( 1 × 3
ql 2 8
×
l ) × 3l 28
y3
=
l 4
l xx
M
1 1
x
Q
N
∆ Ay
=
∑
∫
MM Pds EI
+∑
∫
N N P ds EA
+∑
∫
kQ QPds GA
=
5ql 4 8EI
(1 +
8I 5Al 2
+
4kEI 5GAl 2
)
E /G的 取值范围 是什么？
讨论：
设杆件截面为 b×h 的矩形截面杆，有：
A = bh , I = bh 3 , k = 6
20KN
20KN
1A0KN-676.10E0
-44.7 -22.420 60
(2) (1)
C
20KN
(20) (10)
G
10KN
(20)
(4)
(4) B
2m
F
D
H
40KN
NP (KN)
A(10-4m2)
4 x 2m
40KN
-1.12
-1.112 0
0 1
1
N (KN) 1
0.5
0.5
§6-5 图乘法
三、计算假定：
(1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), (3) 理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§6-2 变形体系的虚功原理
外力虚功——作用在结构上的外力所作的虚功。
y2
=
l 3
y1
=
Hale Waihona Puke 3l 8ca ω1
ω2
b
c
y1 y2
d
∫ MPMdx =ω1y1 +ω2 y2
y1
=
2c + 3
d
y2
=
c
+d 2
(3) 梯-梯异侧组合
A
aω 1
C
y1
c
B
ω 2
b
D
y2
d
y1
=
−
2c + 3
d
y2
=
2d − 3
c
∫ MPMdx =ω1y1 +ω 2 y2
(4) 阶梯形截面杆
ω1
ω2
ω3
I1
I2
I3
y1
y2
为常数
yC M 图 （2）两个M
B
x
图中有一 个是直线
（3）yc 取
自直线图中
常见图形的面积和形心位置
6
注意事项：
∑∫ ∑ ∆kP =
MMPds = ωyC
EI
EI
1. 图乘法的应用条件：
（1）等截面直杆，EI为常数；
（2）两个M图中应有一个是直线；
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 ω 与 yc 在杆件的同侧，ωyc取正值；
q R3
R1
P
ds
c1
R2
c3
c2
ds
力状态
位移状态
T = ∑ P∆ + ∑ Rc
1
虚应变能（内力虚功、变形虚功）：
力状态的内力在位移状态的变形上所作
的虚功。
M
M+dM
dϕ
N
ds
N+dN
Q Q+dQ
ds du
ds
ds dv
变形虚功：
dW = Ndu + Mdϕ + Qdv
∫dW = ∫ Ndu+ ∫ Mdϕ + ∫Qdv
广义位移
广义力
线位移 角位移 相对线位移 相对角位移
集中力 集中力偶 一对集中力 一对集中力偶
M=1 A
ϕA =?
P=1 d
C
d
A P=1 d
B
ϕ BC
=?
B
A
∆ AB
=
?
1
d1
C
1 d1 A
d1 d2
B
1
1
d2
d2
ϕ = ? AB− AC
4
A
P=1
∆ AB
=?
B
P=1
A m=1
ϕ A
=
?
m=1 C m=1
1. 虚位移原理(Principle of Virtual Displacements)
用于虚设的位移状态与实际的力状态之间 的虚功原理——求未知力 。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。
A
(a)
P B
C
a
b
解：构造相应的虚位移状态
外力虚功总和为零，即： (b)
P
T
k P1 du dϕ dv
B t1 K
C
t2 ∆K ds
c3
K′ P2
k
A
c2
R1
c1 位移状态 (实际状态)
根据：虚功原理
PK = 1
NMQ
B
K
C
ds
R3
A
力状态 R2 (虚拟状态)
例. 求图示结构中 K 点沿 k-k 方向的位移
∆
。
K
解：构造虚力状态如图
外力虚功: T = PK ⋅ ∆ K + R1c1 + R2c2 + R3c3
（2）刚体系的虚功原理？ 刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外 力所做虚功之和为零。
（3）变形体的虚功原理？
变形体处于平衡的必要和充分条件是：对于任何 可能的虚位移，外力虚功等于变形虚功。即
T= W
外力虚功 T = ∑ P∆ + ∑ Rc
变形虚功 W = ∑ ∫ Ndu + ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ Qdv
l
l
l
以上结论与材料物理性质无关。因此，虚功原理
既适用于弹性体系，也适用于非弹性体系；既适
用于线性体系，也适用于非线性体系。
注意：
（1）两种状态属同一体系； （2）两种状态可以完全独立无关； （3）两种状态均为可能状态。
即虚设位移应满足变形协调条件； 虚设力状态应满足平衡条件。
2
虚功原理的两种应用
∫ ∫ ∆By =
l MPM ds 0 EI
=
π 2
MPM
Rdϑ
0 EI
= π PR3 (↓) 4EI
同理有：
∆ Bx
=
−
PR 3 2 EI
(→)
例 3：求对称桁架D点的竖向位移∆ DY 。
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态中 各杆的内力
∑ E=210GPa ∆ DY =
N N Pl = 8mm ( ↓ ) EA
一般公式的普遍性表现在：
1. 变形因素：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：静定和超静定结构； 3. 材料性质：弹性、非弹性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和 相对角位移。
单位荷载法—利用虚功原理求结构位移时，在所 求位移地点沿所求位移方向加一个 单位荷载作为虚拟力状态，以使荷 载虚功恰好等于所求位移。这种计 算位移的方法称为单位荷载法。
C
B
l
l
2
2
∆
B
Cy
=∆EC2yI
[=(
21× 3EI
2l32××81l q×l812 )q×l(285××4l4l )]
= 5 ql 4 ( ↓ )
384 EI
7
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位移∆ Ay