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大学物理第四章--功和能

a
a
l
xdx
2l
前已得出:
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F

M
M
S
位移无限小时:
dA

F

dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例1一水平放置的弹簧,其一端固定,另一端系一小球,求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。(在O处弹簧无 形变)
解:根据胡克定律 F F kx
W F dr

xB Fdx
xA
xB xA

kxdx

O

1 2
A
k xB2
B
xA2

1 2
k xA2
作用在质点
上.在该质点从坐标原点运动到(0,2R)位
置过程中,力
F
对它所作的功为多少?
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图,水平桌面上有质点 m ,桌面的摩 擦系数为μ 求:两种情况下摩擦力作的功
1)沿圆弧(a—b);2)沿直径(a—b)
解: Aab
W Ek

1 2
mv末2

1 2
mv始2

1 mA2
2
1 mB2
2

1 m2
2
A2
B2
说明
1、动能是状态量,任一运动状态对应一定的 动能。 2、EK=EKB-EKA为动能的增量,增量可正可 负,视功的正负而变。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
例4、一链条总长为l ,质量为m。放在桌面上并使其

b
fs
dr

b

fs

dr
圆弧 a
a
m fs dr
a
Rb
(b)
fs ds mg R
(a)

Aab fs r mg2R 直径
摩擦力的功与路径有关 一定是负的吗?
§3-2 动能 动能定理
一、动能:物体因运动而具有的能量,称为动能。
拉力对小环所做的功为 -0.207 J B
提示:
A (E P2 - EP1)
R

(
1 2
k x22

1 2
k x12
)
A
O
c
x2 2R l0 R x1 2R l0 2 1 R
例11.如图,质量 m 为 0.1kg 的木块,在W一外 个 W水非平保面内上 和E
(A) 1 m2 A2 B2
2
(C)
1
m
2
A2 B2
2
(B) m 2 A2 B2
2
(D) m 2 B2 A2
解:
v
dr


A sin ti B costj
dt
v A22 sin2 t B22 cos2 t
EPa

势能参考点 f保
dr

AAB
(a)
势能零点可根据需要任意选取,对不同的 势能零点,势能不同,势能差是一定的。
三.常见的几种保守力和相应的势能
1)重力势能 EP mgh 地面为势能零点
2)弹性势能
EP

1 2
k x2
以弹簧原长为 势能零点
3)万有引力势能
EP

G
Mm r
以无限远为 势能零点
下垂,下垂的长度为a,设链条与桌面的滑动摩擦系数 为,令链条从静止开始运动,则:(1)到链条离开 桌面的过程中,摩擦力对链条做了多少功?(2)链条 离开桌面时的速率是多少?
解:(1)建坐标系如图 f mg(l x) / l f
l-a
dr
O
a
Af
f d r l mg (l x)dx

F

Fx
i

Fy
j


Fzk
dr dxi dyj dzk

W


F

dr



(Fxi Fy j Fzk ) (dxi dyj dzk )

xb xa
Fx
dx

yb ya
Fy dy

zb za
Fz
dz
解析式:A
b
a
(
Fx
解:据功的定义式
W F dr

v

B f ds cos A

f
Bmg cosds f N mg A
mgR
若物体直接从A至B, W mg2R
说明:摩擦力做功除与始末位置有关,
还与中间过程有关。

F

OAB

W

1 2
k xA2

1 2
例.设两粒子之间的相互作用力为排斥力,
其变化规律为 f

k r3
,k为常数。若取无
穷远处为零势能参考位置,试求两粒子
相距为r时的势能。(从定义出发)
例:一弹簧原长l0=0.1m,倔强系数k=50N/m,
其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的端点A, 另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环 由半圆环中点B移到另一端C的过程中,弹簧的
二、变力做功 曲线运动
如果力是位置(时间)的函数,质
点在力的作用下沿一曲线运动,
则功的计算如下:
元位移:dr
在元位移 dr中将力
视为恒力
F

dr
b
元功:
dA F dr
从a到b,力对质点做功:
a
b
b
b
A a dA
a F d r
F dr cos
a
对直角坐标系 ,有
一个倔强系数k为 20 N/m 的轻弹簧碰撞,木块将弹簧由
原长压缩了0.4 m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数
k 0.25,问在将要发生碰撞时木块的速率 v为多少?
解:法一. 用功能原理求
FN
系统:木块 + 轻弹簧+地球
WFf E
Ep 0
(2)t=3s时的功率为
P dW dt
4 t 5 324(W ) 3
二、势能
在保守力场,可引入一个只与两质点相对位
置有关的函数,E
势能函数。
P
保守力做功与
势能的关系 AAB
b

f保 dl
EPa
EPb
Ep
a
若选末态为势能零点 Epb 0
任意状态A
的势能为:
(B) W1 0,W2 0,W3 0
(C) W1 0,W2 0,W3 0 0 t1
t(s) t2 t3 t4
(D) W1 0,W2 0,W3 0
W

1 2
mv末2

1 2
mv始2
例5质点的运动方程为
r


A cos ti


B sin tj,
则在外力作用下,从 t 0到t 时间内,外力做功为:
vB vA

1 2
mvB2

1 2
mvA2
W Ekk末B EEkkA初EEk k
dr
Ft

vB
B
F
L
合外力对物体所做的功=物体的动能的增量
----动能定理
定义:Ek=mv2/2 为质点的动能
Ek

1 2
mv 2

p2 2m
Ek状态量
AAB=EKB-EKA
A EK
动能定理
b a F2 dr
b a FN dr
A1ab A2ab ANab
合力的功等于各分力沿同一路径所 做的功的代数和
讨论
单位:J 量纲:ML2T-2
功的其它单位:1eV=1.6×10-19J 1erg=10-7J
1)A是标量 但有正负:取决于力与位移 的夹角。
f2


Gm1m2 r3
r
m2
AAB A f2 dr (一对力的功)
r

B

A
Gm1m2 r3
r dr
rB Gm1m2 dr
rA
r2
m1
A rA
11 AAB Gm1m2 ( rB rA )
如果一对力做功与相对路径的形状无关,而只决定于相 互作用的质点的始末相对位置,这样一对力就叫保守力。
——判别式;充要条件

非保守力:凡作功与路径有关的力。或 F dS 0的力。 如摩擦力、磁力等。
讨论 1、只要有保守力,就可引入相应的势能。
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