例 题 13
13、某弹簧不遵守胡克定律，设施力 F ，相应伸长 为 x ，弹力与伸长的关系为 F 3x 2 。 求： 1）将弹簧从伸长 x1 1m 拉伸到伸长 x2 2m 时，弹 簧弹力所做的功； 2）以弹簧的原长为弹簧的势能零点，求弹簧伸长 时具有的势能。
x
解： 1）由功的定义：
A (M m) gh
A 19600J
例 题 10
10、一质量为m 10kg 的物体沿 x 轴无摩擦的运动， 设 t 0 时，物体位于原点，速度为零，求物体在与 位置有关的力 F 3 4 x(SI ) 作用下移到 x 3 处时， 它的速度和加速度为多少？ 解： 由动能定理： A Ek
m1 由（1）,（3）,（4）解得： v3 m 5 gl 2
2 2
（3）
（4）
例 题 16 16、如图所示，质量为 m 的陨石从距离地面高 h 处
由静止开始向地面下落（忽略空气阻力）， 求：1）陨石下落到地面过程中，万有引力作功？ 2）陨石落地时的速度大小？
h
R
解： 1）法一：保守力作功： 1 1 A EP GMm( ) R Rh 法二：功的定义 A F dr
（D） mgtg 2 gh
mg
解：
P F v mgv cos( ) 2 1 2 mv mgh 2
3、一个质点同时在几个力作用下的位为 r 4i 5 j 6k 其中一个力为恒力 F 3i 5 j 9k（SI），则此力在该
2
o
R
B
例 题 12
12、一弹簧原长 l0 0.1m ，劲度系数k 50N / m ，其 一 端固定在半径为
R 0.1m
的半圆环的端点A，另一端
与一套在半圆环上的小环相连。在把小环由半圆环
B 中点B移到另一端C的过程中，弹簧的拉力对小环所
作功为 解：保守力作功
J。
A
R
C O
1 2 2 A E p k (xB xC ) 0.21J 2
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
法二：
1 Mm 1 Mm 2 2 mv1 G mv2 G 2 r1 2 r2
2 mv 万有引力提供向心力： 1
1
GMm r12
GMm r22
2 mv2
2
近日点和远日点的运动轨迹的曲率半径相等，即： 1 2 解得： v1
两者作功的代数和必为零。
（A）（1）（2）是正确的 （B）（2）（3）是正确的 （C）只有（2）是正确的 （D）只有（3）是正确的
例题2
2、如图所示，木块m沿固定的光滑斜面（倾角为 ） 下滑，当下降h高度时，重力的瞬时功率（ （A） mg 2 gh （B） mg cos 2 gh
h
）
v
（C） mg sin 2 gh
2GMr2 r1 (r1 r2 )
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
E Ek E p
动能定理：
质点动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动 能的增量，即：
AAB F dr EkB EkA
A B
质点系动能定理：所有外力对质点系做的功和内力
对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。
A外 A内 Ekt Ek 0
功能原理：系统机械能的增量等于外力的功和非保
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
理解保守力作功的特点及势能的概念，会
计算重力、弹性力和万有引力的势能。
掌握质点的动能定理，并能用它分析简单
问题，掌握机械能守恒定律，掌握运用守恒定
律分析问题的思想和方法。
二、基本概念
功
机械能
F
GMm 1 1 A cos dr GMm( ) 2 Rh r R Rh
R
2）动能定理：
1 2 A mv 0 v 2
2GMh ( R h) R
例 题 17
17、人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点和远 地点距地心距离分别为 r1和 r2 ，设地球质量为 M ， 万有引力常数为G， 求：1）卫星在近地点和远地点处万有引力势能之 差为多少？2）卫星在近地点和远地点速度大小分 别为多少？
功率
动能
保守力
势能
动能定理 功能பைடு நூலகம்理 机械能守 恒定律
功 力对质点作的功定义为力在位移方向上的分量与该 位移大小的乘积。有：
AAB
dA F dr F cos dr

B
A
F dr
平均功率和瞬时功率
平均功率：作功 A与完成这些功所用时间 t 的比值
A P t
守内力功的总和，即：
Ae＋Aid E
机械能守恒定律：如果系统内只有保守力作功，其 它内力和一切外力都不作功，则系统内各物体的动
能和势能可以相互转换，但机械能总值保持不变。
1、对功的概念有下列几种说法正确的是（
三、例题分析 例题1
）
（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加； （2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功 为零； （3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
3）在加速 t 1.0s以后，起重机匀速上升。求再上升
h 10m 的过程中，电动机又作了多功？
解： 1）根据牛顿第二定律：
T1 Mg aM T1 13560 N
mg T2 am T2 8300 N
T1
h
T2
2）根据功能原理： m M 1 A (m M )v 2 ( M m) gh 2 1 2 电梯作匀加速运动，所以： v at h at 2 解得： A 3945J 3）根据功能原理：
1 2 2 ( 3 4 x ) dx m ( v v t 0) 0 2 F a a 1.5m / s 2 m
3
vt 2.32m / s
例 题 11
11、如图一质点质量为 m 在半径为 R 的半球形容器 中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为 N ，则质点自A滑到 B 的过程中摩擦力作功为多少？ 2 mvB 解： B点： N mg A R 动能定理： A f AG Ek 1 2 A f mgR mvB 2 1 所以： Af ( N 3mg ) R
x
10
m m水 m桶 0.2 x 10 0.2 x
0
功的定义： A
10 0

10
0
F dr
A (10 0.2 x) gdx 882 J
2）加速运动时，满足： F mg ma
F
则： F (10 0.2 x)( g a)
a
mg
功的定义： A
10 0

10
0
F dr
A 10(10 0.2 x)dx 900 J
9、电梯由一个起重间与一个配重组成。它们分别系
例题9
在一根绕过定滑轮的钢缆的两端，如图所示。起重间
（包括负载）的质量M 1200kg，配重的质量m 1000kg 此电梯由和定滑轮同轴的电动机所驱动。假定起重间 由低层从静止开始加速上升，加速度 a 1.5m / s 2 。求： 1）这时滑轮两侧钢缆中的拉力各是多少？ 2）加速时间t 1.0s ，在此时间内电动机所作功是多 少？（忽略滑轮和钢缆的质量）
o
解： 1）木塞飞出瞬间，动量守恒：
1 m1v12 m1 g 2l 2
0 m1v1 m2v2 （1）
（2）
试管做圆周运动过程，机械能守恒，
由（1）,（2）解得：
2m1 v2 m2
gl
2）当木棒换成细绳时，到最高点时满足： 2 m1v3 m1 g l 1 1 2 2 机械能守恒： m1v1 m1 g 2l m1v3
瞬时功率：Δt → 0 时平均功率的极限值称为t时刻
的瞬时功率。
p F v
动能：物体做机械运动而具有的能量，称为动能， 记为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
解：根据动能定理，由题意，子弹穿越两块木板 损失的动能相等，所以： 1 2 1 2 1 2 1 2 mv1 mv2 mv2 mv3 2 2 2 2 v3 100m / s
例题5
5 、作直线运动的甲、乙、丙三物体，质量之比为 1：2：3若它们的动能相等，并且作用于每一个物体 上的制动力的大小都相等，方向与各自的速度方向 相反，则它们制动距离之比为 解：根据动能定理 A E k 。
mv2 GMm 3R (3R) 2

1 2 GMm Ek mv 2 6R
GMm GMm r 3R
2）根据万有引力势能公式
EP
例 题 15
15、如图所示，质量为 m1 短试管，用长为 l ，质量
可忽略不计的硬直杆悬挂，管内盛有乙醚液滴，管 口用质量为 m2的软木塞塞住。当加热试管时，软木 塞在乙醚蒸气压力下飞出， 1）要试管绕悬点o在竖直平面内 作一完整的圆周运动，那么软木 塞飞出的最小速度是多少？ 2）若将硬杆换成细绳，结果如何？