第 2步 ,从剩 2个 下 5 字 的1 母 个 ,放 中 在 2位 选 ,有 第 2种 5 选 ; 法 第 3步 ,从剩 2个 下 4 字 的1 母 个 ,放 中在 3位 选 ,有 第 2种 4 选 ; 法 第 4 步 ,从 1个 0 数 1 个 ,放 字4 在 中 位 ,有 1第 选 种 0 ;选
例1 由 0,1,2,3,4,5,6 这 7 个数字可以组成多少个无 重复数字的四位偶数？
【思路启迪】 要完成的“一件事”为“组成无重复数字 的四位偶数”，所以首位数字不能为 0 并且末位数字必须是偶 数数字，且组成的四位数中的四个数字不重复，因此应先分类， 再分步．
【解】 第 1 类，当首位数字为奇数数字即取 1,3,5 中的 任一个，末位数字可取 0,2,4,6 中的任一个，百位数字不能取 与这两个数字重复的数字，十位数字则不能取与这三个数字重 复的数字．
根据分步乘法计数原理，有 3×4×5×4＝240 种取法．
第 2 类，当首位数字为偶数数字即 2,4,6 中任一个，例如 4，则末位数字可以是 0,2,6 中的任一个，百位数字不能取与这 两个数字重复的数字，十位数字则不能取与这三个数字重复的 数字．
根据分步乘法计数原理，有 3×3×5×4＝180 种取法． 根据分类加法计数原理，共可以组成 240＋180＝420 个无 重复数字的四位偶数．
1.1分类加法计数原理
与 分步乘法计数原理
（第二课时）
用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决计数问题 的方法．
用两个计数原理解决计数的问题时，最重要的是开始计算 之前要进行仔细分析——需要 分类 还是 分步 ．
分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理 求和 ，得到总数．
变式训练1 由数字 0、1、2、3、4、5 可组成多少个 没有重复数字且不能被 5 整除的四位数字？
解：组成四位数可分四步，第一步排千位有 5 种，第二步 排百位有 5 种，第三步排十位有 4 种，第四步排个位有 3 种．由 分步乘法计数原理得共有四位数 5×5×4×3＝300(个)
同理，个位数为 0 的四位数有 5×4×3＝60(个)，个位数 为 5 新,规 牌定 照 可 以2类 分,即为字 母 组 合 在 左 和在 字右 母 .确组 定合 一 个 牌 照 的 字 母 和 数 字 6个 可步 以.骤 分
解 ： 将 汽 车 牌 照 分 为 2 类 ,一 类 字 母 组 合 在 左 ,另 一
类 的 字 母 组 合 在 右 . 字母组合在,分左 6个时步骤确定一个 照汽 的车 字母和数 : 字 第 1 步 ,从 2个 6 字 1 个 母 ,放中 在 ,有 2 选 首 种 6 位 ;选
2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。
要点一 用计数原理解决“组数问题”
对于组数问题的计数，明确特殊位置或特殊数字，是我们 采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或 首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的 策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．
第 5步 ,从剩 9个 下数 的 1 个 字 ,放 中 在 5位 选 ,有 第 9
种选 ; 法 第 6 步 ,从剩 8个 下 数 的 1 个 字 ,放中 在 6 位 ,有 选 8 第
种选 . 法 根据分步乘法计 ,字数母原组理合在左的牌
有262524109811232000个.
同理 ,字母组合在右的有牌 112照3也 200个 0 . 所,共 以能 11给 232 10 10 20 32202040640
∴不能被 5 整除的四位数共有 300－48－60＝192(个).
要点二 用计数原理解决“ 选（抽）取”问题 例2
变式训练2
要点三 用计数原理解决“涂色(种植)” 问题
涂色(种植)问题是计数原理应用中的典型问题，涂色(种植) 本身就是策略的一个运用过程，解决区域涂色(种植)问题时， 为便于分析问题，应先给区域(种植的品种)标上相应序号，然 后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分 类，最后利用两个计数原理求解．
例3 如图，要给地图 A，B，C，D 四个区域分别 涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但 相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
【思路启迪】 根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行 计算．
【解】 按地图 A，B，C，D 四个区域依次涂色，分四 步完成：
第一步：涂 A 区域，有 3 种选择； 第二步：涂 B 区域，有 2 种选择； 第三步：涂 C 区域，由于它与 A，B 区域颜色不同，有 1 种选择； 第四步，涂 D 区域，由于它与 B，C 区域颜色不同，有 1 种选择． 所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共 有 3×2×1×1＝6.
分步要做到“ 步骤完整 ”——完成了所有步骤，恰好完 成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的 方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法 数 相乘 ，得到总数．
情境引例入2 随 着 人 们 生 活 水 平 的 提 高 , 某 城 市 家 庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要 扩 容 .交 通 管 理 部 门 出 台 了 一 种 汽 车 牌 照 组 成办法,每一个汽车牌照都必须有 3 个不重 复的英文字母和 3个不重复的阿拉伯数 字, 并 且 3个 字 母 必 须 合 成 一 组 出 现 ,3个 数 字 也 必 须 合 成 一 组 出 现 .那 么 这 种 办 法 共 能 给 多 少辆汽车上牌照?
辆汽车 . 上牌照
升华提高：
很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决，此 时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。
探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步， 按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。