弧段 Pi1Pi 上的振幅均小于 s 。于是成立
I
n
i 1
ti ti 1
f (x(i ), y(i ), z(i )) f (x(t), y(t), z(t))
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt s 。
s
s
从而得到
n
(i ,i , i )si 。
i 1
当对 L 的分割越来越细时，这个近似值的极限就是 L 的质量。
利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。
定义 14.1.1 设 L 是空间 R3 上一条可求长的连续曲线，其端点 为 A 和 B ，函数 f (x, y, z) 在 L 上有界。令 A P0 , B Pn 。在 L 上从 A 到 B 顺 序地插入分点 P1, P2 ,, Pn1 ，再分别在每个小弧段 Pi1Pi 上任取一点 (i ,i , i ) ,并记第 i 个小弧段 Pi1Pi 的长度为 si （ i 1,2,, n ），作和式
LL即来自nLf (x, y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i
) si
。
其中 f (x, y, z) 称为被积函数， L 称为积分路径。
这样，本节一开始所要求的曲线 L 质量就可表为
M (x, y, z)ds 。
L
在平面情形下，函数 f (x, y) 在平面曲线 L 上的第一类曲线积分记
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt s 。
s
s
从而得到
f (x, y, z)ds lim I 。 0 L
设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y, z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ，当 max ( si )充分小时， f (x, y, z) 在每个
第十四章 曲线积分、曲面积分与场论
§1 第一类曲线积分与第一类曲面积分
第一类曲线积分
设 一 条 具 有 质 量 的 空 间 曲 线 L 上 任 一 点 (x, y,z) 处 的 线 密 度 为 (x, y, z) 。将 L 分成 n 个小曲线段 Li (i 1,2,, n ），并在 Li 上任取一点 (i ,i , i ) ，那么当每个 Li 的长度 si 都很小时， Li 的质量就近似地等于 (i ,i , i )si ，于是整条 L 的质量就近似地等于
这两条曲线在 Q 点的切向量分别为
ru
(u0 , v0
)
x u
(u0 , v0
)i
y u
(u0 , v0
)
j
z u
(u0 , v0
)k
，
rv
(u0
, v0
)
x v
(u0
, v0
)i
y v
(u0
, v0
)
j
z v
(u0
, v0
)k
，
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点
Q(x0 , y0 , z0 ) （ x0 x(u0 , v0 ), y0 y(u0 , v0 ), z0 z(u0 , v0 ) ）， 曲线 r(u, v0 ) x(u, v0 )i y(u, v0 ) j z(u, v0 )k 就是曲面上过 Q 点的 u 曲线； 曲线 r(u0 , v) x(u0 , v)i y(u0 , v) j z(u0 , v)k 就是曲面上过 Q 点的 v 曲线。
成的过 Q 点的平面就是曲面∑在Q 点的切平面，向量
ru (u0 , v0 ) rv (u0 , v0 )
就是曲面∑在Q 点的法向量，它的模长
ru (u0 ,v0 ) rv (u0 ,v0 )
就是切平面上以 ru (u0 , v0 ) 和 rv (u0 , v0 ) 为邻边的平行四边形的面积。
现在利用微元法来计算曲面∑的面积。
解 由题意， L 在 (x, y, z) 点的线密度为
(x, y, z)
k
k，
x 2 y 2 z 2 2 e2t
其中 k 为常数。由 (1,0,1) 1得 k 2 ，所以 (x, y, z) e2t 。因此
M (x, y, z)ds e1 2t 3etdt 3 1et dt 3(1 e1) 。
设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y, z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ，当 max ( si )充分小时， f (x, y, z) 在每个
弧段 Pi1Pi 上的振幅均小于 s 。于是成立
I
n
i 1
ti ti 1
f (x(i ), y(i ), z(i )) f (x(t), y(t), z(t))
x x u v
J
y
u
y
v
z z
u v
满秩，则曲面∑是光滑的。
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点
Q(x0 , y0 , z0 ) （ x0 x(u0 , v0 ), y0 y(u0 , v0 ), z0 z(u0 , v0 ) ）， 曲线 r(u, v0 ) x(u, v0 )i y(u, v0 ) j z(u, v0 )k 就是曲面上过 Q 点的 u 曲线； 曲线 r(u0 , v) x(u0 , v)i y(u0 , v) j z(u0 , v)k 就是曲面上过 Q 点的 v 曲线。
Pn (x( ), y( ), z( )) 。记小弧段 Pi1Pi 的长度为 si ，那么它的弧长为
si
ti ti1
x2 (t) y2(t) z2(t)dt 。令
n
f (x(i ), y(i ), z(i ))si ， i 1
其中 (x(i ), y(i ), z(i )) 为弧段 Pi1Pi 上任意一点。那么
它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点 (1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M。
例 14.1.2 已知一条非均匀金属线 L 的方程为 x et cost, y et sin t, z et , 0 t 1 ，
它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点 (1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M。
L
证记
I
f (x(t), y(t), z(t))
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt 。
作区间[, ] 的划分 P : t0 t1 t2 tn ，在 L 上顺次插入分
点 Pi (x(ti ), y(ti ), z(ti )) (i 1,2,, n 1) ， 并 设 P0 (x(), y(), z()) ，
解 由对称性得
x2ds y2ds z2ds 1 (x2 y2 z2 )ds 。
L
L
L
3L
由于在 L 上成立 x2 y2 z2 a2 ，且 L 是一个半径为 a 的圆周，因此
同理
(x2 y2 z2 )ds a2ds a2 ds 2πa3 。
L
L
L
于是
L
xds
L
yds
Q1 (x(u0 ,v0 ), y(u0 ,v0 ), z(u0 ,v0 ))； Q2 (x(u0 u,v0 ), y(u0 u,v0 ), z(u0 u,v0 ))； Q3 (x(u0 u,v0 v), y(u0 u,v0 v), z(u0 u,v0 v))； Q4 (x(u0 ,v0 v), y(u0 ,v0 v), z(u0 ,v0 v))。
s x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt 。
定理 14.1.1 设 L 为光滑曲线，函数 f (x, y, z) 在 L 上连续。则 f (x, y, z)
在 L 上的第一类曲线积分存在，且
f (x, y, z)ds
f (x(t), y(t), z(t))
x2(t) y2 (t) z2(t)dt 。
I
n
f (x(i ), y(i ), z(i )) si f (x(t), y(t), z(t))
x2(t) y2(t) z2(t)dt
i 1
n
i 1
ti
ti 1
f
( x(i
),
y(i ),
z(i
))
f
(x(t),
y(t),
z(t))
x2(t) y2(t) z2(t)dt 。
AB
线段 OB 的方程为 y 0, 0 x a ，所以
A
e x2 y2 ds a ex dx ea 1。 0
a
OB
因此
I 2(ea 1) a ea 。
4
O
B
x
图14.1.2
例 14.1.2 已知一条非均匀金属线 L 的方程为 x et cost, y et sin t, z et , 0 t 1 ，
n
f (i ,i , i )si 。
i 1
如果当所有小弧段的最大长度 趋于零时，这个和式的极限存在，且 极限值与分点{Pi} 的取法及弧段 Pi1Pi 上的点 (i ,i , i ) 的取法无关，则称 这个极限值为 f (x, y, z) 在曲线 L 上的第一类曲线积分，记为
f (x, y, z)ds 或 f (P)ds 。
0
0
L
例 14.1.3 计算 I (x2 y2 2z)ds ，其中 L 为球面 x2 y2 z2 a 2
L
和平面 x y z 0 的交线。
例 14.1.3 计算 I (x2 y2 2z)ds ，其中 L 为球面 x2 y2 z2 a 2
L
和平面 x y z 0 的交线。
先考察 D 中一个小矩形 ，它的四个顶点为 P1 (u0 , v0 ), P2 (u0 u, v0 ), P3 (u0 u, v0 v), P4 (u0 , v0 v) 。