线性非齐次微分方程 的通解等于对应的齐次方 程的通解再加上一个满足 非齐次方程的特解。
2. 一端固支一端铰支的压杆
F EI L
考虑右半部的平衡
M Fw R(L x)
EI d2w Fw R(L x) dx 2
k2 F EI
d2w k 2w R (L x)
dx 2
EI
w Acoskx B sinkx R (L x) EIk 2
F
0
coskL
A、B、R 有非零解的必要条件
0 EI (kL)3 sinkL
y
L3 A 0
L3
B
0
0 R 0
EI (kL)2 0
coskL
0 EI (kL)3 sinkL
L3 L3 0
0
4.493
kL
tankL kL 特征方程 kL 4.493 π
0.7
Fcr
EI π2 (0.7L)2
压杆中局部的孔、槽 对强度和稳定性各有什么 影响？
注意 压杆中局部的孔、槽
对强度有重要的影响。对杆件 进行稳定性校核时，必须同时 对孔、槽部位进行强度校核。
分析和讨论
n1
sinkL 0
F
kL nπ
k 2 F nπ 2 EI L
F
EI
nπ 2
L
n 2
F
式中 n 应取最小的整数 1。
临界荷载
3. Euler 公式
F EI
L
1
F EI L
2
F
F
EI L
EI L
0.5
0.7
重要公式
Fcr
2 EI
( L)2
Euler 公式中的长度比拟
L
弯 曲矩率为零
曲率为零
— 长度转因角数为零
L 2L
L — 有效长度
0.5L
曲率为零
L
F
曲弯率矩为零
1
F
2
曲率为零
曲率为零F
0.5
理解柔度、临界应力和临界应力总图的概念， 熟悉各类柔度压杆的失效形式。
13.1 失稳的一般概念
13.1.1 失稳 ( lost stability )
平衡形态比拟
平衡路径图
F
稳定平衡 不稳定平衡
屈曲 ( buckling )
u
临界荷载 Fcr
13.1.2 失稳的特点
◆ 不是所有的构件都存在失稳问题 结构失稳的例子
13.2 理想压杆 ( idealized column )
无横向荷载，无初始曲率，轴向力作用在轴线上的 压杆称为理想压杆 。
前提：压杆屈曲时仍处于弹性阶段； 屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
EI L
FF
M EI
d2w dx 2
13.2.1 理想压杆的 Euler 公式
多y 大的轴向压力才会使压杆失稳？
2. 一端固支一端铰支的压杆
x
M w
FF
F
EI L R
R
考虑右半部的平衡
M Fw R(L x)
EI d2w Fw R(L x) dx 2
k2 F EI
d2w k 2w R (L x)
dx 2
EI
数学工具箱
w k 2w 0 线性齐次微分方程
w k 2w (L x) R EI 线性非齐次微分方程
y
M F
F
ExI
w L
Fx
kL nπ
k 2 F nπ 2 EI L
F
EI
nπ
2
L
考虑 边界条件
式中 n 应取最小的整数 1。
w(0) 0 A 0 w(L) 0 BsinkL 0 sinkL 0 特征方程
Fcr
E I 2 L2
临界荷载 ( critical load )
屈曲曲线 w(x) Bsinkx
w(x) Bsinkx 屈曲曲线
n 3 F
式中 n 取 2、3… 时屈曲
曲线是怎样的？
在何种情况下一定会出现这种屈曲曲线？
与这种屈曲曲线相对应的临界荷载有什么变化？
增加中间约束提高抗失稳能力
例 求图示的结构的临界荷载。
A EI B
EI C F
a
1.5a
Fcr1
EI π 2 (1.5a)2
EI π 2 2.25a 2
Fcr2
EI π 2 (2a)2
EI π 2 4a2
临界荷载
பைடு நூலகம்
Fcr
EI π 2 4a2
动脑又动笔 将下面四种梁
的临界荷载从大到小地排列起来。
Fcr
π 2 EI
( L)2
3 EI
0.8L
Fcr
π 2 EI 0.64L2
4 2EI L
Fcr
π 2 EI 2L2
2 EI
L
Fcr
π 2 EI 0.49L2
EI (kL)2
0
L3 A 0
F
0
EI (kL)3
L3
B
0
coskL sinkL 0 R 0
数学工具箱
线性方程组有唯一解的充要条件是系数行列式不为零。 线性齐次方程组恒有解，因为它至少有零解。 线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。
2. 一端固支一端铰支的压杆
EI L
EI (kL)2
13.1.2 失稳的特点
◆ 不是所有的构件都存在失稳问题 ◆ 有时杆件失稳的应力远小于屈服极限或强度极限 ◆ 突发性
2005 年 9 月 5 日晚 10 点 10 分，北京西单“西西 工程 4 号地”综合楼工地的模板支撑体系失稳， 导致 脚手架坍塌 ，47 名工人坠落，造成 6 人死亡、28 人 受伤的严重后果 。
第十三章 压杆稳定
Chapter Thirteen
Stability of Columns
背景材料 本章基本要求 13.1 失稳的一般概念 13.2 理想压杆 本章内容小结
背景材料
背景材料
本章基本要求
掌握失稳的概念，了解构件失稳的特征。 能熟练计算理想压杆在四种常见的约束形式下 的临界荷载。
M
F
F
ExI
w L
1. 两端铰支压杆
FF x
记 k2 F EI
d2w dx 2
k
2
w
0
弯矩与挠度 左段矩平衡
M EI
d2w dx 2
M (x) Fw 0
两端铰支压杆平衡微分方程 方程的通解
w Acoskx Bsinkx
EI
d2w dx2
Fw
0
A、B 不全为零。
通解 w Acoskx Bsinkx
曲率为零
0.7L L
F
曲率为零
0.7
分析和讨论
h b
对于图示的横截 面，Euler 公式中的 I 应取何值？
对于图示的情况， 压杆往哪一方向失稳？
注意 如果压杆的约束情况在各
个方向上相同，那么 Euler 公式中 的 I 应取截面形心主惯性矩中较 小的一个。
分析和讨论
孔所在截面的 应力集中现象
A、B 、R 不全为零。
w(0) 0
(0) 0
A L R 0 EIk 2
kB 1 R 0 EIk 2
w(L) 0 AcoskL BsinkL 0
EI (kL)2
0
coskL
0 EI (kL)3 sinkL
L3 A 0
L3
B
0
0 R 0
2. 一端固支一端铰支的压杆
EI L