2a
?
? 2EI
2a 2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax
?
Pcr
?
? 2EI
2a 2
?
? 3 Ed 4
128a 2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
?
? 2EI
a2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax ?
2 Pcr ?
2 ? 3 Ed 4
64a 2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相 同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的 θ角（设0<θ<π/2）。
正方形
等边角钢
槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力 :
? ? Pcr ?
? 2EI
2
?
① 90? ②
?
CL13TU16
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 ? P cos? ， N2 ? P sin?
两杆的临界压力分别为：
Pcr 1
?
?2E I
l12
，
Pcr 2
?
?2E I
l2 2
?
要使P最大，只有N1、N2 都达
到临界压力，即P cos???2E l12
I
（1）
①
? 90?
(A) P1=P2 (C) P 1>P2
(B) P1<P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
CL13TU10
解：图 (a )中，AD杆受压
? ? N AD ?
2 P1 ?
? 2EI
2
?
2a
P1
?
1 22
? 2EI
a2
图（ b）中， AB杆受压
N AB
?
P2
?
? 2EI
a2
?
P2
?
? 2EI
a2
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2 ；如果 将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的 多少倍？
?
? 2EI
l2
? ?1
Pc r
?
? 2EI
(2 l)2
??2
Pcr
?
? 2EI
(0.7 l)2
? ? 0.7
Pcr
?
? 2EI
(0.5 l)2
? ? 0.5
Pcr
?
? 2EI
l2
? 2EI
(2l )2
? 2EI
(0.7l )2
? 2EI
(0.5l )2
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则
CL13TU11
解：
? 2E Ib
h4
Pcr b ? (? l)2 Pcr a ? 2 E Ia
? Ib ? 12 Ia hb 3
?
???
h b
???
3
?
8
(? l)2
12
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端 约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则 其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的 横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
第十三章 压杆稳定
§13-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定 一端自由
CL13TU2,3
Pcr 称为临界压力
CL13TU4
§13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M(x) ? ? Pv
M(x) ? ? Pv E Iv ??? M( x) ? ? Pv 即 v??? P v ? 0
sin kl ? 0 ? kl ? n? (n ? 0,1,2,? )
k ? n? ? P
l EI
?
P
?
n
2
?
k
l
2
2
2
E
?
IP
EI
Pcr
?
? 2EI
l2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
Pcr
?
? 2EI (? l )2
? 称为长度系数
Pc r
②
P sin? ? ? 2 E I
l2 2
（2）
将式(2)除以式(1), 便得
tg?
?
? ??
l1 l2
? ??
2
?
ctg 2 ?
由此得 ? ? arc tg(ctg 2 ? )
?
① 90? ②
?
y ? （C1 ? C2 x）e r1 x
③一对共轭复根 r1,2 ? ? ? i? 通解 y ? e? x (C1 cos ?x ? C2 sin ?x)
通解： v ? Asin kx ? B cos kx
边界条件： x ? 0时：v ? 0 ? B ? 0
x ? l 时：v ? 0 ? Asin kl ? 0
解： (1)
Pcr
?
? 2EI (? l)2
? 2E? d4
?
64
(? l)2
1 16
? 2EI正
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
?
(? l)2 ? 2EI圆
(? l)2
? ?
?
d
2
? ?
2
a4 ? 4 ?
? I 正 ? 12 ?
I圆 ? d4
12
? d4
??
3
64
64
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所 示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主 惯性轴转动。
EI 令 k 2 ? P ，则 v??? k 2v ? 0
EI 特征方程为 r 2 ? k 2 ? 0
有两个共轭复根 ? ki
附：求二阶常系数齐次微分方程y??? p y?? q ? 0 的通解
特征方程为 r 2 ? pr ? q ? 0 ①两个不相等的实根 r1、r2 通解
y ? C1e r1 x ? C2 er2 x ②两个相等的实根 r1 ? r2 通解