第十三章 压杆稳定
作者:黄孟生
§13-1 压杆稳定性的概念
压杆
桁架中的压杆
高压输电线路保持相间距离的受压构件
某杆,材料σb=130MPa;截面A=2×30mm2, 长 l=300mm, 按强度条件，Fb=130×2×30=7.8kN.但 实际上只有几牛顿的力杆就折断了，为什么？
F
z y
h b
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是通过 长度系数μ来实现的。要根据实际情况选 择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内的 杆端约束情况相同时，则失稳一定发生在 最小刚度平面，即I 最小的纵向平面。
M max F sin 300 l1 15.63kN m
max
FN A
M Wz
163MPa
s
n
168MPa
l1 A
C
l1 B
x
300
z
F
l2
d
NO.14
D
CD杆：FN 2F sin 300 25kN
l
i
1 0.55 20103 / 4
110
p
100
Fcr
2EI (l)2
2 206 109 0.0024
F
z y
h b
F
（4）若压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不相 同时，该杆的临界力应按两个方向的(I/ μl)min值计算。
y z x
轴销
（5）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的;实际压杆 的临界力均小于理论值。
2l
问题的提出：
9l
5l
7l
几根材料和直径相同，但是长度不同、约束不同的压杆:
y y0
查单根16b号槽钢，得：
A = 25.15cm2， Iz0 = 934.5cm4。Iy0 = 83.4cm4 z0=1.75cm，δ = 10mm
由平行移轴公式 Iy=2[Iy0+A(z0+h/2)2]=2Iz0 h = 8.23cm
(2) 校核钢柱的稳定性和强度.
i Iz 6.1cm， l 149.2
Fcr
w Asin kx B cos kx F0 l x
Fcr
x
F0
Me
Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0;
A F0 , B F0l
kFcr
Fcr
w
F0 Fcr
1 k
sin kx l cos kx l
x
2EI
tan kl kl , kl 4.49, Fcr 0.7l 2
§13-4 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定条件
其中:
F Fcr
nst
Fst
F---压杆的工作压力
nst---稳定安全因素
[Fst]---稳定容许压力
F cr
A nst
st
[σst]---稳定容许应力
安全因素的选取：除考虑选取强度安全因素的那些因素外，还要 考虑初曲率、材料不均匀性和荷载偏心等因素。
cr
2E 2
（2） λu ＜λ＜λP，中柔度杆，σ cr = a- bλ ；
（3）0＜λ≤λu，小柔度杆，σ cr = σu ；
σ
临
界 σu
应
力 图
σp
σ= σu λs
σcr=a-bλ
cr
2E 2
λ
λp
例1 一TC13松木压杆，两端为球铰。已知:σp=9MPa,
σb=13MPa, E＝1×104MPa。压杆截面为如下两种：
能不能应用欧拉公式计算每根压杆的临界力？ 每根压杆是不是都会发生失稳？
§13-3 欧拉公式的适用范围与
压杆的非弹性失稳
一、压杆的临界应力与柔度
cr
Fcr A
2 EI （l）2 A
2E （l）2
I A
i2 I A
2E 2E
l i
2
2
即
cr
2E 2
λ= μl / i ——柔度，细长比。
0.552
/ 64
52.8kN
FN
25kN
Fcr nst
29.3kN
如果CD杆为矩形截面，应如何计算？
§13-5 提高压杆稳定性的措施
一、选择合理的截面形式
1、当y、z方向约束相同,使 Iy =Iz，得：λy = λz
2、当Iy =Iz时，尽可能在面积一定的情况下，增大惯 性矩I 。
3、当y、z方向约束不同，λy = λz使 得： Iy ≠Iz，
例3 千斤顶，Q235钢，l=800mm, d=40mm,
E=210GPa, 稳定安全因素nst=3.0。试求[F]。
解：
FN F Fst
F
l
i
2 0.8 0.04
160
p
l
4
Fcr
2 EI
l 2
2 210 109 0.044
(2 0.8)2
/ 64
102kN
F Fst
cr a b, Fcr cr A
a、b为与材料有关的常数，单位：MPa。
适用范围： σP＜σ cr ＜σ u
或 λP＞λ ＞λ u
当λ≤λ u时，压杆为小柔度杆或短粗杆。短粗杆的破 坏是强度破坏。
显然， λ u是中柔度杆与短粗杆的分界值。
令σ cr = σ u得：
u
a
b
u
四、临界应力总图
（1） λ≥λP，大柔度杆，
Me
Fcr
A 0, B M e , w M e 1 cos kx
Fcr
Fcr
cos kl 1 , kl n , n 2, 4...
2EI
Fcr 0.5l 2
3)、一端固定，另一端铰支： M x Fcrw F0 l x
x
Fcr
F0
wl
EIw Fcrw F0 l x w kw k2 F0 l x
二、压杆的稳定计算
稳定较核； 截面设计； 求容许荷载。
1、安全因数法（nst)
F Fcr
nst
Fst
或
F cr
A nst
st
2、折减因数法
cr
nst
st
st F
A
----折减因数
st
crn nst u
0 1
与材料有关，不同的材料 不同
压杆在外力作用下保持原有平衡形式的能力
稳定性 丧失原有平衡形式的现象称为失稳
失稳也是一种失效形式 理想中心受压细长压杆的临界力
§13-2 细长压杆的临界力
一﹑Euler公式
1.两端铰支的临界压力
M（x）=Fcrw （a） E I w″= -M（x）（b）
得 E I w″= - Fcrw 令 k2=Fcr / EI 得 w″+ k2 w= 0 （c）
F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，
p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求
校核该结构是否安全。
l1
A
C
l1 B
x
300
z
F
l2
d
NO.14
D
l1
A
C
l1 B
x
300
z
F
l2
d
NO.14
D
AB杆：FN F cos 300 21.65kN
l
x = 0，x=l : w =0 , M=0,w″=0
x = l/2: w=w0=wmax, 且w′=0
Fcr
Fcr
l
l
2l
Fcr
l/4
l/2
l/4
Fcr
0.7l 0.3l
μ=1
μ=2
μ=0.5
μ=0.7
2 EI Fcr 统一形式： Fcr (l)2
----欧拉公式
μ——长度系数， μl——相当长度
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
65.8
压杆将在xz平面内失稳
显然 z y
而 p 100，u s 60
u p ----中长杆 cr a b 304 1.12 65.8 230.3MPa Fcr cr A 230.3106 14.3104 329.3kN
与杆发生弯曲关 与截面形状有关，(如果Iy=Iz, 且I 越大，承载力就不同了）
F
与杆的长度有关
F F1
F
实际压杆与弯曲有关的因素还有：
荷载不可避免地有一定的偏心； 杆轴线有一定初曲率； 材料本身的不均匀性。
什么是压杆的稳定性呢？
F＜Fcr
F＜Fcr
干扰力
F＜Fcr
（1）当F＜Fcr
时，撤去横向干扰力 后，压杆仍能恢复原 有的直线平衡状态。
A
i
查13-1表, =0.311, [σ]=52.9MPa,
σ=F/A=53.7MPa
σ 虽大于 [σ], 但不超过5%,故满足稳定性要求.
σ= F / Amin = 70.5 MPa＜ [σ]
故满足强度条件.
例5： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁
为14号工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知：