2E
2 1
2E : 22
2E
:
2 3
i12 :i2 2 :i32
I1 : I2 : I3 A1 A2 A3
d4
64
d2
d4
:
64
d2
d 4
2
:
64
d2
4
d2
d 2
2
4
2
4
44
4
1:1:5
Pcr a : Pcr b : Pcr c cr a A1 : cr b A2 : cr c A3
例：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临 界力，其结果比实际＿大＿，＿危＿险＿＿；横截面上 的正应力有可能＿＿超＿过＿比＿例＿极＿限＿＿。
例：三根材料、长度均相同、两端均为球 铰支座的细长杆结构，各自的截面形状如图， 求三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
CL13TU25
cr a
: crb : cr c
1:2:20
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。 求可以用经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临 界应力时的最小杆长。
CL13TU26
解： s
a s
b
304 235 61.6 1.12
由
l
i
61.6
4 0.7
0.88 m
作业（P251-254)
p
2E p
2 206 109
200 106 100
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用欧 拉公式计算其临界压力。
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适 用。 在工程上，一般采用经验公式。 在我国 的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物 线公式。
直线公式 cr a b
l
i
CL13TU20
§13-4 压杆的稳定性计算
稳定性条件：
Pmax
Pc r [nst ]
式中 Pmax ------压杆所受最大工作载荷 Pcr ------压杆的临界压力 [nst ] ------压杆的规定稳定安全系数
稳定性条件也可以表示成： nst
Pc r Pmax
[nst ]
式中 nst 为压杆实际的工作稳定安全系数。
1，2，3，6，16
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微 分方程
E I v M(x)
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉 公式也只有在满足胡克定律时才能适用：
cr
2E 2
p
或写成
2E p
记
p
2E p
则 欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
2E 2
2. 中长杆( s p ), 用经验公式
cr a b
3. 粗短杆( s ), 用强度条件
cr s
cr s cr s
p
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
式中 a、b是与材料性质有关的系数。
表 13-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
a(MPa) 304 461 578 9807
332.2 373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p 经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度 问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
cr a1 b12
式中 a1、b1 也是与材料性质有关的系数，可
在有关的设计手册和规范中查到。
§13-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、压杆的临界应力
2EI Pcr (l )2
cr
Pc r A
2EI (l )2 A
2 E (i 2 A) (l )2 A
2E l 2
i
令 l
i
则
cr
2E 2
l
i
cr
2E 2
压杆的长细比 压杆的柔度
计算压杆的临界 应力的欧拉公式
二、欧拉公式的适用范围 经验公式