受干扰前杆的直线形状的平衡状态称为临界平衡状态，压
力Fcr称为压杆的临界力。 临界平衡状态实质上是一种不稳定的平衡状态，因为此时
杆一经干扰后就不能维持原有直线形状的平衡状态了。 压杆从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态,这种现象称
为丧失稳定性，简称失稳。
（3）压力F超过Fcr后
杆的弯曲变形将急剧增大，甚至最
因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而钢压杆在 各纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以公式中的μ应取较大的值， 即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面内。
由已知条件，钢压杆在xy平面内的杆端约束为两端铰支， μ=1；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一端固定，μ=0.7。故 失稳将发生在xy平面内，应取μ=1进行计算。 临界力为
2

2 10 109 597.3 104 1012
1 3
2
N
655 102 N 65.5kN
在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发 生失稳。
F<Fcr
变形，在干扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到
原来的直线形状的平衡状态。
压杆原有直线形状的平衡状态称为稳 定的平衡状态。
（2）压力F增至某一极限值Fcr时
给杆一微小的横向干扰，使杆发
F=Fcr
生微小的弯曲变形，则在干扰撤去后，
杆不再恢复到原来直线形状的平衡状
态，而是仍处于微弯形状的平衡状态。
O
【解】 由于木柱两端约束为球形铰支，故木柱两端 在各个方向的约束都相同（都是铰支）。因为临界力是 使压杆产生失稳所需要的最小压力，所以公式中的I应 取Imin。由图知，Imin 104 mm4
O
故临界力为
Fcr
π 2 EI y ( l )
压杆稳定
一、压杆稳定的概念 二、细长压杆的临界力 三、压杆的临界应力及三类不同柔度的压 杆
四、压杆稳定的实用计算
§13.1 压杆稳定的概念
在外力作用下的杆件，当应力达到屈服极限或 强度极限时，将发生塑性变形或断裂，这种破坏是 由于强度不足引起的。长度很小的受压短杆也有相 同的现象。
但是在工程中有些构件具有足够的强度和刚度， 却不一定能安全可靠地工作。
在1907年，加拿大长达548m的魁北克大桥在施工中突然倒塌， 就是由于两根受压杆件的失稳引起的。
在设计受压杆件时，除了进行强度计算外，还必 须进行稳定计算，以满足其稳定性方面的要求。
§13.2细长压杆的临界力
细长压杆的临界力的欧拉公式
各种杆端约束下细长压杆的临界力可用下面的统一
公式表示（推导从略）：
●粗短杆能承受3920N压力，细长杆只能承受 40N
压力。
●细长压杆丧失工作能力并不是由于其强度不够，而
是由于其突然产生显著的弯曲变形、轴线不能维持原有 直线形状的平衡状态所造成的。
●工程中把这种不能保持原有直线状态的平衡而突
然变弯的现象，称为失稳。
2. 压杆稳定的概念
压杆的稳定，实质上就是指压杆能保持其原有直 线平衡状态的能力 F<F
cr
cr
cr
cr
【例】 一长l=4m，直径d=100mm的细长钢压杆，支承情 况如图所示，在xy平面内为两端铰支，在xz平面内为一端铰支、 一端固定。已知钢的弹性模量E=200GPa，求此压杆的临界力。
O
【解】钢压杆的横截面是圆形，圆形截面对其任一 形心轴的惯性矩都相同，均为
πd 4 π 1004 1012 m 4 I 64 64 0.049 10 4 m 4
cr
以三种情况来说明
F=Fcr
F>Fcr
采用中心受压直杆的力学模型，即将压杆看作轴 线为直线，且压力作用线与轴线重合的均质等直杆； 把杆轴线存在的初曲率、压力作用线稍微偏离轴线 及材料不完全均匀等因素，抽象为使杆产生微小弯 曲变形的微小的横向干扰。
（1）压力F不大时
给杆一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲
F>Fcr
后造成弯折破坏。
3. 临界应力
Fcr cr A
式中：A——压杆的横截面面积。
●为了保证压杆能够安全地工作，应使压杆承受的压力或杆 的应力小于压杆的临界力Fcr或临界应力cr。因此，确定压杆的 临界力和临界应力是研究压杆稳定问题的核心内容。
4. 惨痛的例子
由于杆件失稳是在远低于强度许用承载能力的情况下骤然发 生的，所以往往造成严重的事故。
稳定性问题。
1. 一个简单的实验
钢板尺长为300mm，宽为20mm，厚为 1mm。 设钢的许用应力为=196MPa，则按轴向拉压
杆的强度条件，钢尺能够承受的轴向压力为 F=A=20×1×10-6m2×196×106Pa=3920N
若将钢尺竖立在桌面上，用手压其上端，则不到
40N的压力，钢尺就会突然变弯而失去承载能力。
π 2 EI Fcr ( μl) 2
上式通常称为欧拉公式。
式中的μ称为压杆的长度因数，它与杆端约束有关，
杆端约束越强，μ值越小；μl称为压杆的相当长度，它是
压杆的挠曲线为半个正弦波（相当于两端铰支细长压杆 的挠曲线形状）所对应的杆长度。
四种典型细长压杆的临界力
cr
cr
cr
cr
四种典型细长压杆的临界力(续)
π 2 EI π 2 200109 0.049104 Fcr N 2 2 ( l ) 1 4 0.6 106 N 600kN
【例2】 有一两端铰支的细长木柱如图所示，己知柱长l=3m， 横截面为80mm×140mm的矩形，木材的弹性模量E=10GPa。 求此木柱的临界力。