指数与对数的运算
要点·疑点·考点
1.整数指数幂的运算性质 (1)am· an=am+n (m,n∈Z) (2)am÷an=am-n (a≠0,m,n∈Z) (3)(am)n=amn (m,n∈Z) (4)(ab)n=anbn (n∈Z) 2.根式 一 般 地 ， 如 果 一 个 数 的 n 次 方 等 于 a(n＞1， 且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的 n 次方根．也就是， 若 xn=a， 则 x 叫 做 a 的 n 次 方 根 ， 其 中 n＞1， 且 n∈N*式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做 被开方数．
(3)(log2 3 log4 9 log8 27 log2n 3n ) log9 n 32
在对数的运算过程中，常常把遇到的对数式化为一个 或两个集中的对数值，然后再进行计算。（集中量）
例5： (1)计算 : 2
1 1 log2 5 2
（2）已知f(x)=a3x-5 ,且f(lga)=100,求a的值。
求
x y x y
1 2
1 2
1 2
1 2
的值。
解题思路：注意条件与结论之间的关系，适当将条件 变形、转化，沟通条件和结论，把二者统一起来。 在这类求值化简中，要注意变式、变形、整体代 换，以及平方差、立方和、立方差公式的运用，化 繁为简，化难为易。
对数的概念：
log a N b

ab=N
(a>0，a≠1, N>0)
log b N 换底公式 log a N log b a 1 (1) loga b logb a

n (2)log a m b log a b m
n
(3) loga b logb c loga c
例4：计算下列式子的值：
(1) log8 4 lg 27 lg 8 lg 1000 (2) lg1.2
例2：化简：
a 8a b 4b 23 ab a
2 3 2 3
4 3
1 3
b (1 23 ) 3 a a
解题思路：把根式化为分数指数幂，再利用法则计算
在化简时，要仔细观察、分析指数的关 系与变化，灵活运用乘法公式进行因式分解 和变形。
例3： 已知x y 12, xy 9, 且x y
例1：计算
3 3 1 -1 0.25 （ ） （6 ） 10 （2 - 3） （ ） 2 4 300
1
1 2
1 4
1 2
一般的，在一个运算式子中既有根式又有 分数指数幂，应把根式化为分数指数幂；遇到 小数应化为分数；遇到指数为负数，可以对调 底数的分子和分母，并将负指数化为正指数。
特别地 loga 1 0;loga a 1
运算法则（a>0,a≠1,M,N>0,n∈R）
(1)loga (MN ) loga M loga N
M (2) log a log a M log a N N
(3) loga M n loga M
n
常用公式：
恒等式： a loga N N
在既有指数又有对数式子的运算中，
（1）要善于利用恒等式 a log
a
N
N
（2）两边取对数也是一种常见的方法。
a
n
n
a
n (4)当n为奇数时，
n
(5)负数没有偶次方根
a n a ；当n为偶数时， a a 0 n a a a a 0
(6)零的任何次方根都是零
4.分数指数幂的意义
(1)a a a 0，m, n Z ，且n 1
n m *
m n
(2)a

m n

1 a
m n
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a 0，m, n Z ，且n 1
*
5.有理数指数幂的运算性质 (1)ar· as=ar+s (a＞0，r,s∈Q)； (2)ar÷as=ar-s (a＞0，r,s∈Q)； (3)(ar)s=ars (a＞0，r,s∈Q)； (4)(ab)r=arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)
3.根式的性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次 方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 n a 表示. (2) 当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两个，它们互为相反 数，这时，正数的正的n次方根用符号 n a 表示，负的n次 方根用符号 n a表示.正负两个n次方根可以合写为 n a (3)