x1
lim x2 1 2. x1 x 1
例2 证明 lim C C, (C为常数) x x0
证 0, 要使 f ( x) A C C 0 成立,
可任取一 0, 当 0 x x0 时
lim C C.
xx0
例3
证明 lim x x0
x
x0 .
证 0, 要使 f (x) A x x0 ,
取 , 当0 x x0 时,
f ( x) A x x0 成立,源自 lim x x0x
x0 .
左极限与右极限
左极限 left-hand limit
x 仅从 x0 的左侧趋于x0 ， 记作
度量 x 与 a 的接近程度
注
1）0 x x0 表示 x x0 , x x0 时 f ( x) 有无极限 与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
2） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 ( ) 越小， 越小.
3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
例1 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x) A x2 1 2 x 1 x1
0, 要使 f ( x) A , 即 x 1
只要取 ,
当 0 x 1
时,
就有 x2 1 2 ,
x0
y
o
•o
x
o
lim f (x)不存在
x0
设函数
f (x)
x2
x 0 在 x 0 时的极限存在，求 a.
1 a x 0
lim f (x) lim x2 0
x0
x0
lim f (x) lim(1 a) 1 a
x0
x0
1a 0 a 1
0 a 1
y
y
o
x
o
x
所以，a 1或0 a 1时， lim ax 都不存在。 x
函数极限的性质
唯一性
函数f(x)当x→x0时极限存在，则极限必唯一.
局部有界性
如果
lim f (x) 存在，则函数
xa
f (x)在点 x0的某个去心邻域内有界。
局部保号性 设 lim f (x) A xx0
数f(x)当x→x0时的极限，记作
lim
x x0
f (x) A 或
f ( x) A( x x0 )
语言表述
0, 0,当 0 x x0 时有 f ( x) A
则 lim f ( x) A x x0
度量 f (x) 与 A的接近程度
无穷小的性质
极限与无穷小的关系
定理1 在自变量的同一变化过程x x0(或x )中，函数
f ( x)具有极限A的充分必要条件是f ( x) A ,
其 中是 无 穷 小
即 lim f (x) A f (x) A , 其中 lim 0
•两个无穷小的和或差，仍是无穷小。
函数极限的几何解释
y
O x
如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条 平 行 于 x 轴 的 直 线 y=A+ε 和 y=A-ε, 存 在 点 x0 的 δ 邻 域 (x0-δ, x0+δ),当x在邻域(x0-δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点 (x,f(x))都落在两条平行线之间。
运算法则,故 lim x1
2x 3 x2 5x
4
例５ 解 例６ 解
求lim x
3 7
x3 x3
4 5
x x
2 2
2 3
3x3 4x2 2
3
lim
x
7x3
5x2
3
lim
x
7
求lim x 3x2
lim
3x2 2x 1 2x3 x2 5
（1）若 A 0（或 A 0 ），则 0 ，使得x U o(x0 , )
有 f (x) 0（或 f (x) 0）
（2）若存在点 x0 的去心 邻域，使得x U o(x0 , )，有 f (x) 0（或 f (x) 0），则 A 0 (或 A 0 )
y
A
A
A
-X O
Xx
从图像容易看出结果
0
0
所以
观察 y = arctan x 的图像
lim arctan x 不存在
x
y y=1/x
o
x
y
y=arctan x
o x
a 1
考虑函数 f (x) = ax , 分 a>1,, 0<a<1两种情形下，
分别求 x → +∞, x →－∞， x →∞时 f (x)的极限。
1 f ( x) 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且 f ( x) 0 则 1 为无穷大
f (x) 无穷小和无穷大的运算法则
以下A 表示有极限的函数，K 表示有界函数，C 代表常数
结果不定，称为未定式
极限的四则运算法则
注：
设有数列
xn
和yn
.如果
lim
n
xn
A,
lim
n
2x 1 lim
3 x
4 x 5 x
2 x2
2 x3 3 x3
1 x3
x 2x3 x2 5 x
例７
求lim x
2 3
x1
x1
x1
x1
例２
求
lim
x2
x3 1 x2 5x 3
解 这里分母的极限不为零,故
lim( x2 5x 3) lim x2 lim5x lim 3
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 5lim x lim3 22 5 2 3 3 0,
注 lim f ( x) A lim f ( x) A 且 lim f ( x) A
x
x
x
若lim f ( x)或lim f ( x)不存在,则lim f ( x) 不存在.
x
x
x
若 lim f ( x) lim f ( x) , 则lim f ( x) 不存在.
都是无穷小量
与
是无穷小量
与 是无穷小量
无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固
定数。但0可以作为无穷小的唯一一个常数. 不能说函数 f(x)是无穷小,应该说在什么情况下的无穷小.即无
穷小与自变量的变化过程有关.如 x 时2 是x无穷2 小， 但 x 时3，则 不x是 无2 穷小。
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例３
求lim x3
x3 x2 9
x3
1
解
lim
x3
x2
9
lim
x3
x
3
lim1 x3
lim(x 3)
1 6
x3
例４
求lim x 1
2x 3 x2 5x
4
解 分母的极限 lim(x2 5x 4) 0,不能应用商的极限 x1
推论: 如果 f x g x ，且当 x x0时， f x A, g x B
则 lim f x lim g x ，即
xx0
xx0
A B
无穷 小
如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零， 那么就称
f (x)是此极限过程的无穷小（量） 无穷小举例
从右边趋于0
右极限
从左边趋于0
左极限 证明函数极限不存在的方法是:
左右极限不相等
(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在 (2)或证明左极限和右极限均存在, 但不相等
例题
x 1 x 0
f
(x)
0
x0
x 1 x 0
lim(x 1) 1
x0
lim f (x)
lim(x 1) 2
x1
相似地 lim(x2 1) 1 x0
自变量趋于有限值时函数的极限
定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存
在常数A ,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存 在正数δ,使得当x 满足不等式0<|x－x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式，| f(x)－A|<ε那么常数A就叫做函
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n a1 x0n1 an f ( x0 ).
2. 设
f (x)
P( Q(
x) x)
,
且Q(
x
0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q( x0 )
只有一种趋势 包括两种趋势
如
注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的 绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。
观察函数 y=1/x 的图像
y y=1/x
o
x
再考察函数 y = ln x
y y=lnx
