第三节 函数的极限（一）教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念；（2）理解无穷小概念，掌握其性质教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则.一、函数极限的概念1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限：+∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(=，当自变量+∞→x 时，xx f 1)(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞→lim ⇔ 0>∀ε，N ∃，N n >时,ε<-a x n ．令()n f x n =，则()⇔=∞→a n f n lim 0>∀ε，N ∃，当N n >时，()ε<-a n f ．将n换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ．定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>∀ε，0X ∃>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞=，或()A x f →，（x →+∞） ．几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象{(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-⨯+∞A A X 内 ．2）x →-∞时的极限：x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ．定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>∀ε，0X ∃>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A→-∞=，或()A x f →，（x →-∞） ．几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象)},(),(|),{(a x x f y y x -∞∈=在X 左边的部分位于平面带形),(),(εε+-⨯--∞A A X 内 ．3）x →∞时的极限：x →∞读作“x 趋于无穷大”，表示x 无限增加，0x ≠ ．定义：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>∀ε，0X ∃>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →∞时的极限，记作()lim x f x A →∞=，或()A x f →，（x →∞） ．几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象{(,)|(),||}x y y f x x X =>在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-⨯+∞-∞A A 内说明：①描述()A x f x =∞→lim 的语言称为使用的为X ε-语言；②ε的任意小性，()εX X =的存在性，一般ε越小，X 越大 ． ▲)(lim x f x ∞→、)(lim x f x +∞→和)(lim x f x -∞→的关系定理 lim ()x f x A →∞=⇔lim ()x f x →+∞=lim ()x f x A →-∞=例1.证明：0sin lim=∞→xxx ．证：（应证明，0>∀ε，X ∃，当X x >时，ε<=-|||sin ||0sin |x x x x ） 0>∀ε，欲使ε<=-|||sin ||0sin |x x x x ，因为||1|||sin ||0sin |x x x x x ≤=-，故只要ε<||1x ；即ε1>x ．取ε1=X ，当X x >即 ε1>x 时，必有ε<<-x x x 1|0sin |，证得：0sin lim=∞→xxx ．2. 自变量x 趋于有限值时函数的极限1）当时函数的极限引例：设函数()()1122--=x x x f ，函数在10=x 无定义 ．考虑当x 趋向于1时，()x f)的变化趋势？观察可得，当x 充分接近于1，()x f 充分接近于4；或当|1|-x 充分小时，()4-x f 也充分的小 ．()()()()12114124112422-=----=---=-x x x x x x x f对0.1，要使()42|1|0.1f x x -=-<，即只要10.05x -<； 对0.01，要使()01.0|1|24<-=-x x f ，即只要005.01<-x ； 对0.001要使()4210.001f x x -=-<，只要10.0005x -<； ......一般地，对任给0ε>，要使()ε<-4x f ，只要有21ε<-x ，记δε=2，即只要有δ<-1x ；表明当δ<-<10x 时，就一定有()ε<-4x f ．定义 3.2 设函数)(x f 在点0x 的某去心邻域有定义，若对0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有()ε<-A x f ，则称当A 为函数()x f 当0x x →时的极限，记作()A x f x x =→0lim 或()A x f →（0x x →） ．说明：①描述极限()A x f x x =→0lim 的数学语言称为εδ-语言；②注意定义中ε的任意小性，δ的存在性，一般ε越小，δ也越小；③定义中00x x -<，即0x x ≠，表明()x f x x 0lim →存在与否与函数()x f 在0x 的状况无关，而与()x f 在0x 邻域内的状况有关；④图像上看，当x 落入()δδ+-00,x x 时，函数()x f 落入宽为ε2的带子()εε+-A A ,中 ．例2．证明 00(1) lim , (2)lim . x x x x C C x x →→==例3．证明极限()31lim 22=-→x x ．证：0>∀ε，不妨设31<<x ，欲使ε<-⋅+=-2242x x x ，只要：ε<-<-⋅+=-252242x x x x ，即52ε<-x ；取5εδ=，则当δ<-<20x 时，有()ε<--312x ，证得：()31lim 22=-→x x ．说明：若从()ε<-A x f 中反求δ困难，可适当将()f x A -放大成0(),x x β-从A +A0()x x βε-<中反求δ，在这个过程中，经常将x 限制在某个01x x δ-<内 ．3．左极限与右极限（单侧极限）若x 从0x 的左侧()0x x <趋于0x 时，有()A x f →，称A 为函数()x f 在0x 的左极限，记作()A x f x x =-→0lim ，或()()A x f x f x x ==--→0lim 00；若x 从0x 的右侧()0x x >趋于0x 时，有()A x f →，称A 为函数()x f 在0x 的右极限，记作()A x f x x =+→0lim ，或()()A x f x f x x ==++→0lim 00；例4．设函数()000101>=<⎪⎩⎪⎨⎧+-=x x x x x x f ，试观察函数在0=x 时的左、右极限 ． 解：()()()11lim lim 000-=-==---→→x x f f x x ，()()()11lim lim 000=+==+++→→x x f f x x很显然，()()0000-≠+f f ．例5．观察图中的()00+x f 与()00-x f ．解：（（3）中的左右极限存在且相等 ．问题：左、右极限与极限的关系，以上三例中的极限是否存在？ 定理：()A x f x x =→0lim ⇔()=+→x f x x 0lim ()A x f x x =-→0lim由定理可知，以上前两例中的极限均不存在，而第三例的极限存在 ．例6．观察函数()11112>≤⎩⎨⎧+=--x x ax x f x x ，问()x f x 1lim →是否存在？解：右极限：()2111lim 11lim lim 1211=+=--=+++→→→x x x x f x x x 左极限：()()a a x x f x x +=+=--→→1lim lim 11根据左右极限与函数极限的关系，只有当211=+a ，即21-=a 时，极限存在，并且有()21lim 1-=→x f x ；若21-≠a ，极限则不存在 ．二、无穷小量定义3.3 若()0lim =x f ，则称()x f 为][→x 时的无穷小 ．说明：① 按照极限的定义，0x x →时的无穷小的数学描述为：()0lim 0=→x f x x ⇔0>∀ε，0>∃δ，δ<-<00x x 时，()ε<x f ；②∞→x 时的无穷小的数学描述为：()0lim =∞→x f x ⇔0>∀ε，0X ∃>，当x X >时，()ε<x f ；③无穷小不是指很小的数；而“零”是可以作为无穷小的唯一的数； ④无穷小的概念与极限状况有关，如()xx f -=11是∞→x 时的无穷小，但却是1→x 时的无穷小 ．2.无穷小与函数极限的关系：定理3.1 ()⇔=A x f lim ()α+=A x f ，其中α是该极限过程中的无穷小； 证：()A x f =lim ⇔()[]0lim =-A x f ⇔()α=-A x f 即()α+=A x f ，α是无穷小 ．3．无穷小的性质①有限个无穷小的和仍然是无穷小； ②有限个无穷小之积仍然是无穷小；③有界函数与无穷小之积仍然是无穷小；常数与无穷小之积仍然是无穷小；证：考虑极限过程为0x x →，由于()x g 有界，则()M x g ≤；()x f 是0x x →时的无穷小，由定义，()0lim 0=→x f x x ⇔0>∀ε，0>∃δ，δ<-<00x x 时，()Mx f ε<；即0>∀ε，0>∃δ，δ<-<00x x 时，()()()()εε=⋅<⋅=⋅M Mx g x f x g x f ，证得：()()0lim 0=⋅→x g x f x x ．例7. 求极限 ⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x 1sinlim 0解：由于 )0( 11sin≠≤x x 故x1sin 在0=x 的任一去心邻域内是有界的，而函数x 当0→x 是无穷小，所以01sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x内容小结:1函数极限的""εδ-或""X ε-定义及应用2.无穷小概念及其性质.作业: 练习册P10---P11.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。