高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.（C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x x ex f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ）lim+→x )x1+1(x=1 B ）lim+→x )x1+1(x=eC ）lim∞→x )x11－(x=-e D ）lim∞→x )x1+1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。
A.1；B.∞；C.3ln ；D.3ln 2。
6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e7．极限：∞→x lim332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：xx x 11lim 0-+→=（ ）A.0；B.∞； C 21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ）A.0；B.∞；C.2；D. 21．10．极限: xxx x 2sin sin tan lim 30-→=（ ）A.0；B.∞；C. 161； D.16．二. 填空题 11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = . 12.lim→x xarctanx =_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________；14. =→xxx x 5sin lim0___________；15. =-∞→nn n)21(lim _________________；16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合19. 无穷小量是20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三个条件是 三. 计算题 21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ 22.设f(e1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0);23.求lim 2x →(3－x)25--x x ;()()x x x x f 25lg 12-+-+=24.求lim ∞→x (11-+x x )x; 25.求lim 0x →)3(2tan sin 22x x x x + 26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→28.求它的定义域。
29. 判断下列函数是否为同一函数：⑴ f(x)＝sin 2x ＋cos 2x g(x)＝1⑵ 11)(2--=x x x f 1)(+=x x g⑶ ()21)(+=x x f 1)(+=x x g⑷ ()()21+=x x f 1)(+=x x g⑸ y ＝ax 2s ＝at 230. 已知函数 f(x)＝x 2-1，求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2) 31. 求746153lim 22--+-+∞→n n n n n 32. 求221limn nn ++++∞→33. 求)1(lim n n n -++∞→34. 求nn n n n 3232lim+-+∞→35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y 2→x ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y 0→x36. 31lim3+→x x37. 93lim 23--→x x x38. xx x 11lim--→ 39. 求当x →∞时，下列函数的极限112323+-+-=x x x x y 40. 求当x →∞时，下列函数的极限11232+-+-=x x x x y 41.41. x xx 3sin lim0→42. 20cos 1lim xxx -→ 43. 311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n44. nn n 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→45. x x kx)11(lim +∞→ 46. xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim47. ()xx kx 101lim +→48. 研究函数在指定点的连续性⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,sin )(x x x xx f x 0＝049. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
11)(-=x x f ,x ＝1 50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1)(x x xx f ，x ＝０ 51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
⎩⎨⎧=≠=0,10,)(2x x x x f ，x ＝０ 52. 证明f(x)＝x 2是连续函数53. xx x )1ln(lim+→ 54.⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅--→x x x x ln 11lim 21 55. 试证方程2x 3－3x 2＋2x －3＝0在区间[1,2]至少有一根56. xx x x 2sin sin tan lim 30-→57. 试证正弦函数 y = sin x 在 (-∞, +∞) 内连续。
58. 函数f (x ) = x = ⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，；，在点x = 0处是否连续？ 59. 函数)(x f =⎩⎨⎧≠≠0001sin x x x x ，；， 是否在点0=x 连续？ 60. 求极限 xa x x 1lim 0-→. 答案：一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：+∞=-+→1lim 1x x x ，.1lim 1-∞=--→x xx 从而+∞=-→+11lim x xx e ，.0lim 11=-→-x xx e3 C4 A5 C6 C7 A8 C∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。
先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 21111lim )11()11)(11(lim 00=++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D10 C解 原式161821lim )2()cos 1(tan lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。
如上例原式0)2(lim 3=-=→x x x x .二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 515 . 2-e 16. 2,1=x17 .),(+∞-∞ ),0[+∞ 18. ),(+∞-∞ }1,0,1{-19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20 . ① 函数y f (x) 在点x0有定义；② x →x0 时极限)(lim 0x f x x →存在；③ 极限值与函数值相等，即)()(lim 00x f x f x x =→三. 计算题21 . 【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x x x -→+-+ =x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e 22. f (x)=3lnx+1 x ＞0 23.e 324.e225.6126. 3ln ;27. 328. 解：由x ＋2≥０解得x ≥-2由x －１≠０解得x ≠１ 由5－２x ＞０解得x ＜2.5 函数的定义域为｛x ｜2.5＞x ≥-2且x ≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。
⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。
⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。
30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x 2+2x ，f(f(x))＝f(x 2-1)＝(x 2-1)2-1＝x 4-2x2f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝9931 . 解：222222n 226153lim 746153lim 746153lim n n n n nn n n n n n n n n n n--+-=--+-=--+-+∞→+∞→+∞→ 210060031lim 71lim 46lim 1lim 1lim53lim 22=--+-=--+-=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n nn n n n n n n32. 解：212lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n 33 . 解：nn n n n n n n n n ++++-+=-++∞→+∞→1)1)(1(lim)1(lim01lim 1lim 1lim111lim11lim=++=++=++=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n nnn n n n34 . 解：110101lim )32(lim 1lim )32(lim 1)32(1)32(lim 3232lim -=+-=+-=+-=+-+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n nnn 35 . 解：⑴因为3lim ,2lim 22==+-→→y y x x ，y y x x +-→→≠22lim lim所以 函数在指定点的极限不存在。