圆锥曲线高考真题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
(1)求M 的方程
(2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 的面积最大值.
2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34
,求C 的离心率;
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a,b .
3.已知椭圆C :,直线不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .
(1) 证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值;
(2)若过点(),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.
4.已知抛物线C :22y x = 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.
(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段
AB 为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;
(2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程.
6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为
()()10M m m >,.
(1)证明:1
2
k <-;
(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0.证明:FA ,
FP ,FB 成等差数列,并求该数列的公差.
7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
,且经过点(0,1),圆
22221:C x y a b +=+。
(1)求椭圆C 的方程;
(2)直线:(0)l y km m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ,且l 与圆1C 相交于,A B 两点,问是否存在这样的直线l ,使得AM MB =若存在,求出l 的方程,若不存在,请说明理由。
8.已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ,1C 和2C 有公共焦点
F ,点F 在x 轴正半轴上,且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。
(1)当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时,求1C 及2C 的方程; (2)设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点,交2C 于M,N 两点。
当
36
7
PQ =时,求MN 的值。
9.如图,椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点是F (1,0),O 为坐标原点.
(1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (2)设过点F 的直线l 交椭圆于A ,B
222
OA OB AB +<,求a 的取值范围.
10.设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ,,,)0(>k kx 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.
(1)若6ED DF =,求k 的值; (2)求四边形AEBF 面积的最大值.
11.已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ,1C 和2C 有公共焦点
F ,点F 在x 轴正半轴上,且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。
(1)当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时,求1C 及2C 的方程; (2)设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点,交2C 于M,N 两点。
当36
7
PQ =时,求MN 的值。
12. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆12
42
2=+y x 的顶点,过坐标原
的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k (1)当直线PA 平分线段MN ,求k 的值; (2)当k=2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB
13.平面内与两定点1(,0)A a -,2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. (1)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系;
(2)当1m =-时,对应的曲线为1C ;对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞,对应的曲线为2C ,设1F 、2F 是2C 的两个焦点。
试问:在1C 撒谎个,是否存在点N ,使得△1F N 2F 的面积2||S m a =。
若存在,求tan 1F N 2F 的值;若不存在,请说明理由。
14.如图7,椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率32,x 轴被曲线
22:C y x b =- 截得的线段长等于C 1的长半轴长。
(1)求C 1,C 2的方程;
(2)设C 2与y 轴的焦点为M ,过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C 1相交与D,E .(i )证明:MD ⊥ME;(ii )记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问:是否存在直线l ,使得
1217
32
S S =请说明理由。
15.如图,已知椭圆C 1的中心在原点O ,长轴左、右端点M ,N 在x 轴上,椭圆C 2的短轴为MN ,且C 1,C 2的离心率都为e ,直线l ⊥MN ,l 与C 1交于两点,与C 2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D . (1)设1
2
e =
,求BC 与AD 的比值; (2)当e 变化时,是否存在直线l ,使得BO ∥AN ,并说明理由.
16.已知O 为坐标原点,F 为椭圆2
2
:12
y C x +=在y 轴正半轴上
的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P
满足0.OA OB OP ++= (1)证明:点P 在C 上;
(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上. 17.在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A (0,-1),B 点在直线3y =-上,M 点满足//MB OA ,MA AB MB BA =,M 点的轨迹为曲线C .
(I )求C 的方程;
(II )P 为C 上动点,l 为C 在点P 处的切线,求O 点到l 距离的最小值.
18.已知动直线l 与椭圆C: 22
132
x y +
=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点,且△OPQ 的面积OPQ S ∆=
6
,其中O 为坐标原点. (1)证明2212x x +和2212y y +均为定值;
(2)设线段PQ 的中点为M ,求||||OM PQ ⋅的最大值; (3)椭圆C 上是否存在点D,E,G ,使得6
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由.
19.如图,设P 是圆2225x y +=上的动点,点D 是P 在x 轴上的摄影,M 为PD 上一点,且4
5
MD PD =
(Ⅰ)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的长度 20. 椭圆有两顶点A (-1,0)、B (1,0),过其焦点F (0,1)的直 线l 与椭圆交于C 、D 两点,并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .
(I )当|CD | =
3
22
时,求直线l 的方程; (II )当点P 异于A 、B 两点时,求证:OP OQ ⋅ 为定值。
21.已知斜率为1的直线l 与双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>相交于B 、D 两
点,且BD 的中点为M(1,3)
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,||||17
⋅=
DF BF 证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切。