高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1．椭圆的概念在平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2典型例题例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2()(,)b B c a-± (C)(0，±b ) (D)不存在例4. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )例5 P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为23，经过点(2，0); . 例7 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．第二部分：双曲线1．双曲线的概念平面动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx 离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)典型例题例8.命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。
则命题甲是命题乙的( )(A ) 充要条件 (B ) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件例9. 过点(2，-2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线的方程是( ) (A)12422=-y x (B)12422=-x y (C)14222=-y x (D)14222=-x y例10. 双曲线221(1)x y n n-=>的两焦点为12,,F F P 在双曲线上,且满足12PF PF +=则12F PF 的面积为( )()1A 1()2B ()2C ()4D例11. 设ABC ∆的顶点)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 21sin sin =-，则第三个顶点C 的轨迹方程是________.例12. 连结双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y (a ＞0，b ＞0)的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，则21S S 的最大值是________． 例13.根据下列条件，求双曲线方程:⑴与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(-3，32)；⑵与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点(2).例14 设双曲线2212y x -=上两点A 、B ，AB 中点M （1，2） ⑴求直线AB 方程；⑵如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？第三部分：抛物线1． 抛物线的概念平面与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下典型例题例15. 顶点在原点，焦点是(0,2)-的抛物线方程是( )(A )x 2=8y (B)x 2= 8y (C)y 2=8x (D)y 2=8x例16. 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) (A )1716 (B)1516 (C)78(D)0 例17.过点P (0,1)与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有( ) (A )4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条例18. 过抛物线2y ax =(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段P F 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q+等于( )(A )2a (B)12a (C)4a (D)4a例19. 若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使|PA |+|PF |取最小值，P 点的坐标为( )(A )(3，3) (B)(2，2) (C)(21，1) (D)(0，0) 例20. 动圆M 过点F(0，2)且与直线y =-2相切，则圆心M 的轨迹方程是 .例21. 过抛物线y 2＝2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y 1、y 2，则y 1y 2＝_________.例22. 以抛物线x y 23=-的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.例23. 过点(-1,0)的直线l 与抛物线y 2=6x 有公共点，则直线l 的倾斜角的围是 .例题答案例1. D 例2. B 例3. C.例5. B.例7. (3,±4) 或(-3, ±4)例8. (1)1162522=+y x 或1251622=+y x ; (2) 13622=+y x ;(3)1922=+y x 或181922=+y x ; (4) 1422=+y x 或116422=+y x .例9. 12||||PF PF ⋅≤2212||||()42PF PF a +== 例11. B 例13. D 例16. A 例17.)2(112422-<=-x y x 例18. 12 例19.⑴221944x y -=;⑵221128x y -= 例20.⑴直线AB ：y =x +1⑵设A 、B 、C 、D 共圆于⊙OM ，因AB 为弦，故M 在AB 垂直平分线即CD 上；又CD 为弦，故圆心M 为CD 中点。
因此只需证CD 中点M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：A （-1，0），B （3，4）又CD 方程：y =-x +3 由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：x 2+6x -11=0设C （x 3,y 3），D （x 4,y 4），CD 中点M （x 0,y 0） 则340003,362x x x y x +==-=-+=∴ M （-3，6） ∴ |MC|=|MD|=21|CD|=102又|MA|=|MB|=102∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| ∴ A 、B 、C 、D 在以CD 中点，M （-3，6）为圆心，102为半径的圆上例21. B(22,4282pp x py y =-=-==-即) 例22. B 例23. B(过P 可作抛物线的切线两条，还有一条与x 轴平行的直线也满足要求。
)例24. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p ,q ，则p =q =|F K |1||2FK a=而, 112241()2a p q p a∴+===例25. 解析：运用抛物线的准线性质.答案：B 例26. x 2=8y 例27. －p 2例28.223()94x y ++= 例29.[0,arctan ][arctan )22ππ-。